꽃병에서 구슬 꺼내기

작동 원리

꽃병을 클릭하세요. 구슬 하나가 나와 첫 번째 접시에 놓이고, 수형도에서 해당 가지가 밝게 표시됩니다.
다시 클릭해 두 번째 구슬을 꺼내고, 그때 각 색이 몇 개 남아 있었는지와 빨간색이 나올 확률이 얼마였는지 읽어 보세요.
자동 꺼내기를 눌러 1,000회를 꺼내고, '예'의 비율이 5/18 ≈ 27.8%에 자리 잡는 모습을 보세요.

비복원추출

꺼낸 구슬은 다시 넣지 않습니다. 꽃병 속 구슬은 줄어들고 구성도 바뀌므로, 두 번째 구슬의 확률은 첫 번째 구슬에 따라 달라집니다. 빨간 구슬이 나온 뒤에는 남은 8개 중 4개가 빨간색이므로 4/8입니다. 파란 구슬이 나온 뒤에는 8개 중 5개가 빨간색이므로 5/8입니다. 두 번의 추출은 서로 종속이고, 수형도의 각 가지에 적힌 확률은 조건부확률, 즉 이미 꺼낸 색이 주어졌을 때 이 색이 나올 확률입니다.

가지를 따라 곱하기

수형도에서 한 경로의 확률은 그 경로에 있는 가지들의 확률을 곱한 값입니다. 빨간색 다음 빨간색은 5/9 × 4/8 = 20/72입니다. 이것이 확률의 곱셈정리입니다: P(A 그리고 B) = P(A) × P(A가 주어졌을 때 B). 빨강-빨강, 빨강-파랑, 파랑-빨강, 파랑-파랑 네 경로의 확률은 20/72, 20/72, 20/72, 12/72이고, 모두 더하면 72/72 = 1입니다. 그중 하나는 반드시 일어나기 때문입니다.

해당하는 경로 더하기

'두 구슬이 같은 색인가요?' 같은 질문에는 해당하는 경로가 여러 개입니다. 빨강-빨강과 파랑-파랑입니다. 그 확률을 더합니다: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. 대부분의 경로가 해당할 때는 해당하지 않는 경로를 빼는 편이 빠릅니다. 적어도 하나가 빨간색일 확률은 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6입니다. 앱은 모든 질문에 대해 계산 과정을 보여 줍니다.

복원추출

구슬을 매번 다시 넣으면 꺼낼 때마다 꽃병이 똑같습니다. 이때 두 구슬이 모두 빨간색일 확률은 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30.9%로, 27.8%보다 조금 큽니다. 두 번의 추출은 서로 독립입니다. 꽃병이 클수록 차이는 작아집니다. 빨간 구슬 10개와 파란 구슬 10개라면, 둘 다 빨간색일 확률은 비복원추출에서 9/38 ≈ 23.7%, 복원추출에서 25%입니다. 빨강 2개와 파랑 2개가 든 작은 꽃병에서는 차이가 큽니다. 두 구슬이 같은 색일 확률은 비복원추출에서 1/3, 복원추출에서 1/2입니다.

자주 묻는 질문

빨간 구슬 5개와 파란 구슬 4개에서 빨간 구슬 두 개를 꺼낼 확률은 얼마인가요?

첫 번째 구슬을 다시 넣지 않으면 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, 약 27.8%입니다. 다시 넣으면 5/9 × 5/9 = 25/81, 약 30.9%입니다.

복원추출과 비복원추출의 차이는 무엇인가요?

복원추출에서는 매번 같은 꽃병에서 꺼내므로 각 추출이 서로 독립이고 확률이 그대로입니다. 비복원추출에서는 꺼낼 때마다 꽃병이 바뀌므로 각 확률이 앞에서 무엇이 나왔는지에 따라 달라집니다.

수형도에서는 왜 확률을 곱하나요?

두 번째 확률은 첫 번째 확률 안에서의 비율이기 때문입니다. 전체 회차 중 5/9는 빨간 구슬로 시작하고, 그중 4/8은 두 번째도 빨간 구슬이 나옵니다. 9분의 5의 절반은 5/18입니다.

꺼내는 순서가 중요한가요?

어떤 조합의 확률에는 중요하지 않습니다. 빨간색 다음 파란색과 파란색 다음 빨간색은 둘 다 확률이 20/72입니다(5/9 × 4/8과 4/9 × 5/8). 같은 수를 다른 순서로 곱했을 뿐입니다. 정확히 하나만 빨간색일 확률은 두 경로의 합인 40/72 = 5/9입니다.

무언가 업로드되나요?

아니요. 모든 것은 브라우저 안에서 계산되고 캔버스에 그려집니다. 저장은 PNG를 받습니다. 편집은 그 이미지를 PictorX 편집기에서 엽니다.