斐波那契数列
从 0 和 1 开始。之后每一个斐波那契数都是前两项之和：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … 用一项除以前一项，这些商会逼近黄金比例，大约 1.618。这不是巧合。方程 φ² = φ + 1 与规则 Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ 是同一件事。PictorX 画出螺旋、比值、比内公式，以及按黄金角生长的向日葵。 让方块长成螺旋，追踪黄金比例，或对比内公式。
它是如何运作的
- 打开此页面，观看方块长成黄金螺旋。
- 切换到「比值」查看商向 φ 振荡，或切换到「比内」对照封闭形式。
- 打开向日葵，试试卢卡斯数，然后保存 PNG，或在 PictorX 编辑器中继续。
带两个记忆的规则
F₀ = 0，F₁ = 1。对之后的每个下标，Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂。于是列表固定为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …。螺旋中的方块边长就是这些数，因此每个新方块正好贴合至此已建成矩形的长边。
商为何会找到 φ
比值 1/1、2/1、3/2、5/3、8/5、13/8、21/13 在约 1.618 上下摆动，且摆动越来越小。若它们趋于极限 r，用前一项去除递推就得到 r = 1 + 1/r，即 r² − r − 1 = 0。正根就是黄金比例 φ = (1 + √5) / 2。
同一方程，然后是比内
纯等比猜测 Fₙ = λⁿ 把递推变成 λ² = λ + 1。根是 φ 与 ψ = (1 − √5) / 2。比内公式把它们混合：Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5。因为 |ψ| < 1，第二项的幂会消退，Fₙ 就是最接近 φⁿ / √5 的整数。卢卡斯数 2, 1, 3, 4, 7, 11, … 服从同一规则，故其比值同样趋近 φ。
常见问题
什么是斐波那契数列？
满足 F₀ = 0、F₁ = 1 且 Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ 的数列。它从 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … 开始。
为什么比值会趋近黄金比例？
若商趋于稳定，递推迫使极限 r 满足 r = 1 + 1/r，于是 r² − r − 1 = 0。正解是 φ = (1 + √5) / 2。
什么是比内公式？
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5，其中 ψ = (1 − √5) / 2。ψ 项会缩小，因此 Fₙ 是最接近 φⁿ / √5 的整数。
什么是黄金角？
一整圈除以 φ²，约 137.5°。按该角度放置种子，半径随计数的平方根增长，就会画出向日葵的螺旋。可见的螺旋条数是斐波那契数。
计算是在我的浏览器中运行的吗？
是的。数列、螺旋、比值和种子都在您的设备上计算。可保存 PNG，或在 PictorX 编辑器中打开画布。
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