乌拉姆螺旋
乌拉姆螺旋把正整数写进一个正方形，从 1 开始，按逆时针方向转动。标出素数，它们会聚集在对角线上。每条这样的线都是一个二次多项式。让螺旋从 41 开始，其中一条对角线就是欧拉的公式，连续四十步都是素数。 拖动以移动，滚动以缩放，点击某个格子即可读出其对角线上的二次多项式。
它是如何运作的
- 打开此页面，看看这些素数。那些斜向条纹就是整个发现。
- 拖动以移动、滚动以缩放，或打开收藏“5×5 网格”，读出每一个数字。
- 选择“欧拉的 40 个素数”，或点击某个格子读出它的多项式，然后保存 PNG。
整数的螺旋
路径从 1 开始。先向右走一步，再向左转，每一段直线都比前一段多一步。第一个正方形就是熟悉的那块：左上角是 17，右下角是 25。素数会被标出。合数可以淡淡显示或隐藏，这正是乌拉姆在 1963 年画出的图。
对角线就是公式
正方形的一条对角线恰好就是某个二次式 4n² + bn + c 的所有取值。其中有些公式可以因式分解，对角线上便没有素数。另一些，例如欧拉的公式，得到素数的频率远高于同样大小的随机数。点击一个格子，读数会给出公式、这条线上最长的连续素数，以及与 1 / ln n 的比较。
四十个素数，一条对角线
n² + n + 41 在 n = 0 到 39 时都是素数。n = 40 时，值为 1,681 = 41²。在螺旋上，当中心格为 41 时，这些数就是对角线 4n² − 2n + 41。这一串从 1,523 经过 41 到 1,601，共四十个素数，然后中断。哈代和李特尔伍德的猜想预测，这个多项式得到素数的频率几乎是随机情况的七倍。但它并不能证明素数会一直延续下去。
常见问题
什么是乌拉姆螺旋？
由斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆于 1963 年构想的正整数方形螺旋。从 1 开始，向右走一步，然后按逆时针转动。标出素数，它们会聚集在对角线、水平线和竖直线上。
为什么素数会排成直线？
每条这样的线都是一个二次多项式 4n² + bn + c。其中有些公式几乎总能被某个小素数整除，另一些（包括欧拉的公式）则几乎从不能被整除。
什么是欧拉的 40 个连续素数？
n² + n + 41 在 n = 0 到 39 时都是素数，在 n = 40 时等于 41²。让螺旋从 41 开始，这些值就是一条对角线 4n² − 2n + 41，从 1,523 经过 41 到 1,601。
这个螺旋能证明素数的公式吗？
不能。它只是让差异变得可见。哈代和李特尔伍德的猜想 F 预测了每个二次式应有多丰富。目前还没有任何二次式被证明能产生无穷多个素数。
螺旋会离开我的设备吗？
不会。筛法、螺旋和图像都在你的浏览器中计算。可以保存 PNG，或在 PictorX 编辑器中打开画布。
相关工具
乌拉姆螺旋
斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆 1963 年的螺旋如何把整数排在方格上，素数为何聚集在二次式对角线上，以及螺旋从 41 开始时欧拉的四十个素数位于何处。
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