免费布丰投针 | 投针估算 π

它是如何运作的

一次投掷由两个量确定：针的中点到最近直线的距离 x，以及针与直线的夹角 θ。x 的取值范围是 0 到 d/2。θ 的取值范围是 0 到 π，因为针没有头尾之分，转半圈就涵盖了所有方向。当 x ≤ (l/2) sin θ 时，针与直线相交。

当 l ≤ d 时，相交的概率为 P = 2l/(πd)。所有 (θ, x) 组合填满一个宽 π、高 d/2 的矩形。相交的情形对应正弦曲线下方的面积，这块面积等于 l。两块面积相除，分母中就留下了 π。当 l = d/2 时概率为 1/π，所以 π 约等于投掷次数除以相交次数。

变形后的公式是 π ≈ 2l·N / (d·N_hit)。这是一种蒙特卡洛估计，而且效率不高。几千次投掷通常就能让前几位数字显现出来，下一位数字则需要多得多的次数。读数旁的 ± 是该比值的一个标准误差。在地板上拖动可以放下一根针并查看它的 x 和 θ。这根针会被画出，但不计入统计。

什么是布丰投针？

把长为 l 的针投到间距为 d 的平行线上。对于短针（l ≤ d），它与某条线相交的概率是 2l/(πd)。

为什么答案里有 π？

针的方向是 0 到 π 之间的一个角。所有可能的落法填满一个这么宽的矩形，而相交的情形是正弦曲线下方的面积。两块面积相除，分母中就留下了 π。

这个实验如何估算 π？

数出投掷次数 N 和相交次数 N_hit，则 π ≈ 2l·N / (d·N_hit)。针长为间距一半时，这就是投掷次数除以相交次数。

为什么手动放置的针不计入统计？

估计需要随机的位置和随机的角度。你拖动放置的针会被画出来，方便你查看 x 和 θ，但它不会计入 N 或 N_hit。

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