フィボナッチ数列
0 と 1 から始めます。次のフィボナッチ数は、いつも直前の2つの和です。0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … ある項を一つ前の項で割ると、商は黄金比、およそ 1.618 に近づきます。偶然ではありません。方程式 φ² = φ + 1 は、規則 Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ そのものです。PictorX は螺旋、比、ビネの公式、そして黄金角で育つひまわりを描きます。 正方形を螺旋に育て、黄金比を追い、ビネの公式を比較します。
使い方
- このページを開き、正方形が黄金螺旋に育つのを見てください。
- 「比」に切り替えて商が φ に向かって振動する様子を見るか、「ビネ」で閉じた式を比較します。
- ひまわりを開き、リュカ数を試し、PNG を保存するか PictorX エディターで続けます。
二つの記憶を持つ規則
F₀ = 0、F₁ = 1。以降の各添字について Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂。列はこうして決まります：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …。螺旋の正方形はこれらの辺長を持ち、新しい正方形はそれまでにできた長方形の長辺に合います。
商が φ を見つける理由
比 1/1、2/1、3/2、5/3、8/5、13/8、21/13 は約 1.618 の上下で振れ、振れは小さくなります。極限 r に落ち着くと、前の項で割った漸化式は r = 1 + 1/r になり、つまり r² − r − 1 = 0。正の根が黄金比 φ = (1 + √5) / 2 です。
同じ方程式、そしてビネ
純粋な等比の仮定 Fₙ = λⁿ は漸化式を λ² = λ + 1 に変えます。根は φ と ψ = (1 − √5) / 2。ビネの公式はそれらを混ぜ、Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5。|ψ| < 1 なので第二項の累乗は消え、Fₙ は φⁿ / √5 に最も近い整数です。リュカ数 2, 1, 3, 4, 7, 11, … も同じ規則に従うので、比も φ に近づきます。
よくある質問
フィボナッチ数列とは何ですか？
F₀ = 0、F₁ = 1、Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ の数列です。0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … から始まります。
比が黄金比に近づくのはなぜですか？
商が落ち着くと、漸化式はその極限 r が r = 1 + 1/r を満たすよう強制し、r² − r − 1 = 0 になります。正の解は φ = (1 + √5) / 2 です。
ビネの公式とは何ですか？
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5、ψ = (1 − √5) / 2 です。ψ の項は縮むので、Fₙ は φⁿ / √5 に最も近い整数です。
黄金角とは何ですか？
一周を φ² で割った角、約 137.5°。その角で種を置き、半径を個数の平方根のように伸ばすとひまわりの螺旋が描けます。見える螺旋の本数はフィボナッチ数です。
計算はブラウザ内で動きますか？
はい。数列、螺旋、比、種はすべて端末上で計算されます。PNG を保存するか、PictorX エディターでキャンバスを開いてください。
関連ツール
フィボナッチ数列
隣り合うフィボナッチ数がなぜ黄金比に近づくのか、その極限が漸化式からどう出るのか、そしてビネの公式が φ から各項をどう組み立てるのか。
レカマン数列
0 から始めます。各ステップは、n だけ戻った位置が正で未使用なら後ろへ、そうでなければ前へ跳びます。半円、欠けている数、同じ跳躍から生まれるメロディーを見てみましょう。
コラッツ予想
ブラウザでコラッツの 3n+1 問題を探検しましょう。あられ数列をたどり、幾何学的なコラッツの木を育て、連続版コラッツ・フラクタルをズームできます。
かけ算の円
円の上の各数をその倍数と結びます。紙に、チョークで、または木の上に、かけ算表やカージオイド、糸かけの図形を描きましょう。
ウラムの螺旋
ブラウザでウラムの螺旋を描きます。素数に印を付け、各対角線の二次式を読み取り、オイラーの途切れない40個の素数の列を開けます。
ビュフォンの針
ブラウザーで線の引かれた床に針を落とします。交差を数え、ビュフォンの1777年の実験が π を推定する様子を見てみましょう。
ラングトンのアリ
ブラウザでラングトンのアリを動かしましょう。対称、カオス、104 ステップのハイウェイを観察し、多色の規則、複数のアリ、六角格子、ターマイトも試せます。
試してみますか？
ブラウザで PictorX を開きます。インストール不要、始めるのにクレジットカードも不要です。
エディターへ