متتالية فيبوناتشي مجانًا | النسبة الذهبية والحلزون

كيف يعمل

افتح هذه الصفحة وشاهد المربعات تنمو إلى حلزون ذهبي.
انتقل إلى النسب لترى النواتج تتأرجح نحو φ، أو إلى بينيه لمقارنة الصيغة المغلقة.
افتح دوار الشمس، جرّب أعداد لوكاس، ثم احفظ PNG أو تابع في محرر PictorX.

قاعدة بذاكرتين

F₀ = 0 و F₁ = 1. لكل دليل لاحق، Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. تصبح القائمة ثابتة: 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، …. مربعات الحلزون لها أطوال الأضلاع تلك، فيطابق كل مربع جديد الضلع الطويل للمستطيل المبني حتى الآن.

لماذا تجد النواتج φ

النسب 1/1، 2/1، 3/2، 5/3، 8/5، 13/8، 21/13 تتأرجح فوق عدد قرب 1.618 وتحته، ويصغر التأرجح. إذا استقرت عند نهاية r، تصبح العلاقة مقسومة على الحد السابق r = 1 + 1/r. أي r² − r − 1 = 0. الجذر الموجب هو النسبة الذهبية φ = (1 + √5) / 2.

المعادلة نفسها، ثم بينيه

تخمين هندسي خالص Fₙ = λⁿ يحوّل التكرار إلى λ² = λ + 1. الجذران φ و ψ = (1 − √5) / 2. صيغة بينيه تمزجهما، Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. ولأن |ψ| < 1 تخفت القوة الثانية، ويكون Fₙ العدد الصحيح الأقرب إلى φⁿ / √5. أعداد لوكاس 2، 1، 3، 4، 7، 11، … تطيع القاعدة نفسها، لذا تقترب نسبها أيضًا من φ.

الأسئلة المتداولة

ما متتالية فيبوناتشي؟

المتتالية ذات F₀ = 0 و F₁ = 1 و Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. تبدأ 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، …

لماذا تقترب النسبة من النسبة الذهبية؟

إذا استقرت النواتج، يفرض التكرار أن تحقق النهاية r المعادلة r = 1 + 1/r، لذا r² − r − 1 = 0. الحل الموجب هو φ = (1 + √5) / 2.

ما صيغة بينيه؟

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5، حيث ψ = (1 − √5) / 2. يتقلص حد ψ، لذا Fₙ هو العدد الصحيح الأقرب إلى φⁿ / √5.

ما الزاوية الذهبية؟

دورة كاملة مقسومة على φ²، حوالي 137.5°. بذور موضوعة عند تلك الزاوية، ونصف القطر ينمو كجذر تربيعي للعدد، ترسم حلزونات دوار الشمس. أعداد الحلزونات الظاهرة هي أعداد فيبوناتشي.

هل تعمل الرياضيات في متصفحي؟

نعم. تُحسب المتتالية والحلزون والنسب والبذور على جهازك. احفظ PNG أو افتح اللوحة في محرر PictorX.