Collatz 猜想
任选一个正整数,然后遵循两条规则:若为偶数,除以 2;若为奇数,计算 3n+1。Collatz 猜想认为每个序列最终都会到达 1,并进入 4 → 2 → 1 的循环。PictorX 将这些冰雹数变成一棵几何树和一个曼德博风格的分形,你可以调整、播放动画并保存。 选择一个起始数,生长一棵几何冰雹树,或缩放连续的 Collatz 分形。
它是如何运作的
- 打开此页面,观看几何树从冰雹序列中生长出来。
- 选择一个起始数,或切换到复平面分形:拖动平移,滚动缩放。
- 调整转角或迭代次数,然后保存 PNG 或在 PictorX 编辑器中打开图像。
简单到孩子都能懂的规则
从一个正整数 n 开始。若 n 为偶数,用 n/2 替换它;若 n 为奇数,用 3n+1 替换它。不断重复。该猜想声称每个起始值最终都会到达 1。一旦到达 1,就会进入无限循环 1 → 4 → 2 → 1。序列在坠落前会上下跳动,因此也被称为冰雹数。从 6 开始,路径是 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1。
为何仍没有证明
计算机已验证了远超 2×10²¹ 的每一个整数,它们都会到达 1。但普遍的证明并不存在。保罗·埃尔德什曾说,数学还没有准备好解决这类问题。2019 年,陶哲轩证明了该猜想对几乎所有数成立,这是重大进展,但并非完整解答。一家日本公司为最终证明悬赏 1.2 亿日元。
观察这道数学题的两种方式
几何树把每个偶数或奇数步看作平面上的一次转弯,于是一个序列变成一条路径,许多序列变成一片珊瑚。复平面分形用一个三角开关把同一规则推广到每个点 z = x + yi:它在偶数上恰好等于 n/2,在奇数上恰好等于 3n+1。颜色记录 |z| 逃逸所需的迭代次数。
常见问题
什么是 Collatz 猜想?
它断言:如果反复把偶数 n 换成 n/2、把奇数 n 换成 3n+1,任何正整数最终都会到达 1。规则很简单,普遍的证明却不简单。
这个应用展示了什么?
同一规则的两种视图。几何树把冰雹序列变成平面上的路径。复平面分形在复平面上迭代一个光滑的 Collatz 函数,并按逃逸时间为像素着色。
这些序列为什么叫冰雹数?
数值在落到 1 之前常常起伏多次,就像冰雹在雷雨云中被托起又落下。从 6 开始,你会得到 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1。
这个猜想被证明了吗?
没有。每个经过验证的整数都终止于 1,陶哲轩也证明了几乎所有数最终都会变得非常小,但对每个起始值都成立的证明仍悬而未决。
计算是在我的浏览器中运行的吗?
是的。树、序列和分形都在你的设备上计算。保存 PNG,或在 PictorX 编辑器中打开画布。
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