Barisan Fibonacci
Mulai dari 0 dan 1. Setiap bilangan Fibonacci berikutnya adalah jumlah dua suku sebelumnya: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Bagi satu suku dengan suku sebelumnya, dan hasilnya mendekati rasio emas, sekitar 1,618. Ini bukan kebetulan. Persamaan φ² = φ + 1 adalah aturan yang sama dengan Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. PictorX menggambar spiral, rasio, rumus Binet, dan bunga matahari yang tumbuh pada sudut emas. Tumbuhkan persegi menjadi spiral, kejar rasio emas, atau bandingkan rumus Binet.
cara itu works
- Buka halaman ini dan lihat persegi tumbuh menjadi spiral emas.
- Beralih ke Rasio untuk melihat hasil bagi berosilasi menuju φ, atau ke Binet untuk membandingkan bentuk tertutup.
- Buka bunga matahari, coba bilangan Lucas, lalu simpan PNG atau lanjut di editor PictorX.
Aturan dengan dua ingatan
F₀ = 0 dan F₁ = 1. Untuk setiap indeks berikutnya, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Daftar lalu tetap: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Persegi dalam spiral punya panjang sisi itu, sehingga setiap persegi baru cocok dengan sisi panjang persegi panjang yang sudah dibangun.
Mengapa hasil bagi menemukan φ
Rasio 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 berayun di atas dan di bawah bilangan dekat 1,618, dan ayunannya menyusut. Jika menetap pada batas r, rekursi dibagi suku sebelumnya menjadi r = 1 + 1/r. Itu r² − r − 1 = 0. Akar positif adalah rasio emas φ = (1 + √5) / 2.
Persamaan yang sama, lalu Binet
Tebakan geometri murni Fₙ = λⁿ mengubah rekursi menjadi λ² = λ + 1. Akarnya φ dan ψ = (1 − √5) / 2. Rumus Binet mencampurkannya, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Karena |ψ| < 1, pangkat kedua pudar, dan Fₙ adalah bilangan bulat terdekat ke φⁿ / √5. Bilangan Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, … mematuhi aturan yang sama, jadi rasionya juga mendekati φ.
Pertanyaan yang sering diajukan
Apa itu barisan Fibonacci?
Barisan dengan F₀ = 0, F₁ = 1, dan Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Dimulai 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Mengapa rasio mendekati rasio emas?
Jika hasil bagi menetap, rekursi memaksa batas r memenuhi r = 1 + 1/r, jadi r² − r − 1 = 0. Solusi positif adalah φ = (1 + √5) / 2.
Apa itu rumus Binet?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, di mana ψ = (1 − √5) / 2. Suku ψ menyusut, jadi Fₙ adalah bilangan bulat terdekat ke φⁿ / √5.
Apa itu sudut emas?
Satu putaran penuh dibagi φ², sekitar 137,5°. Biji ditempatkan pada sudut itu, dengan jari-jari tumbuh seperti akar kuadrat hitungan, menggambar spiral bunga matahari. Hitungan spiral yang terlihat adalah bilangan Fibonacci.
Apakah hitungan berjalan di peramban saya?
Ya. Barisan, spiral, rasio, dan biji dihitung di perangkat Anda. Simpan PNG atau buka kanvas di editor PictorX.
Related alat
Barisan Fibonacci
Mengapa bilangan Fibonacci berurutan mendekati rasio emas, bagaimana limit itu keluar dari rekursi, dan bagaimana rumus Binet membangun kembali setiap suku dari φ.
Barisan Recamán
Mulai dari 0. Setiap langkah melompat mundur n jika tempat itu positif dan baru, jika tidak maju. Saksikan setengah lingkaran, bilangan yang hilang, dan melodi dari lompatan yang sama.
Konjektur Collatz
Jelajahi masalah Collatz 3n+1 di browser Anda. Telusuri barisan hujan es, tumbuhkan pohon Collatz geometris, dan perbesar fraktal Collatz kontinu.
Lingkaran perkalian
Hubungkan setiap angka pada lingkaran dengan kelipatannya. Gambar tabel perkalian, kardioid, atau figur benang di atas kertas, dengan kapur, atau pada kayu.
Spiral Ulam
Gambar spiral Ulam di peramban Anda. Tandai bilangan prima, baca polinomial kuadrat pada setiap diagonal, dan buka deret 40 bilangan prima Euler yang tak terputus.
Jarum Buffon
Jatuhkan jarum ke lantai bergaris di browser. Hitung persilangannya dan saksikan eksperimen Buffon tahun 1777 memperkirakan π.
Semut Langton
Jalankan semut Langton di browser. Saksikan simetri, kekacauan, dan jalan raya 104 langkah, lalu coba aturan warna-warni, beberapa semut, kisi heksagon, dan turmite.
Siap ke coba itu?
Buka PictorX di browser Anda — tidak instalasi, tidak credit kartu diperlukan ke mulai.
Ke Editor