De rij van Fibonacci
Begin met 0 en 1. Elk volgend Fibonacci-getal is de som van de twee ervoor: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Deel een term door de vorige en de quotiënten naderen de gulden snede, ongeveer 1,618. Dat is geen toeval. De vergelijking φ² = φ + 1 is dezelfde regel als Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. PictorX tekent de spiraal, de verhoudingen, de formule van Binet en een zonnebloem in de gulden hoek. Laat de vierkanten tot een spiraal groeien, volg de gulden snede of vergelijk de formule van Binet.
Hoe het werkt
- Open deze pagina en zie de vierkanten uitgroeien tot een gulden spiraal.
- Schakel naar Verhoudingen om de quotiënten naar φ te zien schommelen, of naar Binet om de gesloten vorm te vergelijken.
- Open de zonnebloem, probeer Lucas-getallen en sla daarna een PNG op of ga verder in de PictorX-editor.
Een regel met twee geheugens
F₀ = 0 en F₁ = 1. Voor elke latere index geldt Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. De lijst is dan vast: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … De vierkanten in de spiraal hebben die zijden, zodat elk nieuw vierkant past op de lange zijde van de tot dan toe gebouwde rechthoek.
Waarom de quotiënten φ vinden
De verhoudingen 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 schommelen boven en onder een getal nabij 1,618, en de schommeling wordt kleiner. Als ze op een limiet r uitkomen, wordt de recurrentie gedeeld door de vorige term r = 1 + 1/r. Dat is r² − r − 1 = 0. De positieve wortel is de gulden snede φ = (1 + √5) / 2.
Dezelfde vergelijking, dan Binet
Een zuivere meetkundige gok Fₙ = λⁿ maakt van de recurrentie λ² = λ + 1. De wortels zijn φ en ψ = (1 − √5) / 2. De formule van Binet mengt ze, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Omdat |ψ| < 1 vervaagt de tweede macht, en Fₙ is het gehele getal dichtst bij φⁿ / √5. Lucas-getallen 2, 1, 3, 4, 7, 11, … volgen dezelfde regel, dus hun verhoudingen naderen ook φ.
Veelgestelde vragen
Wat is de rij van Fibonacci?
De rij met F₀ = 0, F₁ = 1 en Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Ze begint 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Waarom nadert de verhouding de gulden snede?
Als de quotiënten zich zetten, dwingt de recurrentie dat limiet r voldoet aan r = 1 + 1/r, dus r² − r − 1 = 0. De positieve oplossing is φ = (1 + √5) / 2.
Wat is de formule van Binet?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, waarbij ψ = (1 − √5) / 2. De ψ-term krimpt, dus Fₙ is het gehele getal dat het dichtst bij φⁿ / √5 ligt.
Wat is de gulden hoek?
Een volle draai gedeeld door φ², ongeveer 137,5°. Zaden onder die hoek, met een straal die groeit als de wortel van de telling, tekenen de spiralen van een zonnebloem. De zichtbare spiraaltellingen zijn Fibonacci-getallen.
Draait de wiskunde in mijn browser?
Ja. De rij, de spiraal, de verhoudingen en de zaden worden op uw apparaat berekend. Sla een PNG op of open het doek in de PictorX-editor.
Gerelateerde gereedschappen
De rij van Fibonacci
Waarom opeenvolgende Fibonacci-getallen naar de gulden snede lopen, hoe die limiet uit de recurrente betrekking valt en hoe de formule van Binet elke term uit φ terugbouwt.
Rij van Recamán
Begin bij 0. Elke stap springt n terug als die plek positief en nieuw is, en anders vooruit. Bekijk de halve cirkels, de ontbrekende getallen en een melodie uit dezelfde sprongen.
Het vermoeden van Collatz
Verken het Collatz-3n+1-probleem in je browser. Volg hagelsteenreeksen, laat een geometrische Collatz-boom groeien en zoom in op de continue Collatz-fractal.
Vermenigvuldigingscirkels
Verbind elk getal op een cirkel met zijn veelvoud. Teken een tafel, een cardioïde of een draadfiguur op papier, met krijt of op hout.
Ulam-spiraal
Teken de Ulam-spiraal in je browser. Markeer de priemgetallen, lees de kwadratische formule van elke diagonaal en open Eulers ononderbroken reeks van 40 priemgetallen.
Naald van Buffon
Laat in je browser naalden op een gestreepte vloer vallen. Tel de kruisingen en zie hoe het experiment van Buffon uit 1777 π schat.
Langtons Mier
Draai Langtons mier in je browser. Bekijk symmetrie, chaos en de snelweg van 104 stappen, en probeer daarna meerkleurige regels, meerdere mieren, een zeshoekig raster en turmites.
Klaar om het te proberen?
Open PictorX in uw browser - geen installatie, geen creditcard vereist om te starten.
Ga naar Editor