Suite de Fibonacci gratuite | Nombre d'or et spirale

Comment ça marche

Ouvrez cette page et regardez les carrés grandir en une spirale dorée.
Passez à Rapports pour voir les quotients osciller vers φ, ou à Binet pour comparer la forme fermée.
Ouvrez le tournesol, essayez les nombres de Lucas, puis enregistrez un PNG ou continuez dans l'éditeur PictorX.

Une règle à deux mémoires

F₀ = 0 et F₁ = 1. Pour tout indice suivant, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. La liste est alors fixée : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Les carrés de la spirale ont ces longueurs de côté, si bien que chaque nouveau carré épouse le long côté du rectangle déjà construit.

Pourquoi les quotients trouvent φ

Les rapports 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 oscillent au-dessus et au-dessous d'un nombre proche de 1,618, et l'amplitude diminue. S'ils se stabilisent sur une limite r, la récurrence divisée par le terme précédent devient r = 1 + 1/r. C'est r² − r − 1 = 0. La racine positive est le nombre d'or φ = (1 + √5) / 2.

La même équation, puis Binet

Une hypothèse géométrique pure Fₙ = λⁿ transforme la récurrence en λ² = λ + 1. Les racines sont φ et ψ = (1 − √5) / 2. La formule de Binet les mélange, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Comme |ψ| < 1, la seconde puissance s'efface, et Fₙ est l'entier le plus proche de φⁿ / √5. Les nombres de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, … obéissent à la même règle, donc leurs rapports convergent aussi vers φ.

Questions fréquemment posées

Qu'est-ce que la suite de Fibonacci ?

La suite avec F₀ = 0, F₁ = 1 et Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Elle commence 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Pourquoi le rapport approche-t-il le nombre d'or ?

Si les quotients se stabilisent, la récurrence impose que la limite r satisfasse r = 1 + 1/r, donc r² − r − 1 = 0. La solution positive est φ = (1 + √5) / 2.

Qu'est-ce que la formule de Binet ?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, où ψ = (1 − √5) / 2. Le terme ψ diminue, donc Fₙ est l'entier le plus proche de φⁿ / √5.

Qu'est-ce que l'angle d'or ?

Un tour complet divisé par φ², environ 137,5°. Des graines placées à cet angle, avec un rayon croissant comme la racine carrée du compte, dessinent les spirales d'un tournesol. Les comptes de spirales visibles sont des nombres de Fibonacci.

Les calculs tournent-ils dans mon navigateur ?

Oui. La suite, la spirale, les rapports et les graines sont calculés sur votre appareil. Enregistrez un PNG ou ouvrez le canevas dans l'éditeur PictorX.