피보나치 수열
0과 1에서 시작합니다. 다음 피보나치 수는 언제나 앞의 두 수의 합입니다. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … 한 항을 바로 앞 항으로 나누면 몫은 약 1.618인 황금비에 가까워집니다. 우연이 아닙니다. 방정식 φ² = φ + 1은 규칙 Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂와 같습니다. PictorX는 나선, 비, 비네 공식, 그리고 황금각으로 자란 해바라기를 그립니다. 사각형을 나선으로 키우고, 황금비를 쫓거나 비네 공식을 비교하세요.
작동 원리
- 이 페이지를 열고 사각형이 황금 나선으로 자라는 모습을 보세요.
- 「비」로 바꿔 몫이 φ를 향해 진동하는 모습을 보거나 「비네」로 닫힌 식을 비교하세요.
- 해바라기를 열고 루카스 수를 시도한 뒤 PNG를 저장하거나 PictorX 편집기에서 이어 가세요.
두 개의 기억을 가진 규칙
F₀ = 0, F₁ = 1. 이후 모든 인덱스에 대해 Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. 목록은 이렇게 고정됩니다: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. 나선의 사각형은 그 변 길이를 가지므로 새 사각형마다 지금까지 만든 직사각형의 긴 변에 맞습니다.
몫이 φ를 찾는 이유
비 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13은 약 1.618 위아래로 흔들리며 흔들림은 줄어듭니다. 극한 r에 자리 잡으면 이전 항으로 나눈 점화식이 r = 1 + 1/r이 되고, 곧 r² − r − 1 = 0입니다. 양의 근이 황금비 φ = (1 + √5) / 2입니다.
같은 방정식, 그다음 비네
순수 등비 가정 Fₙ = λⁿ은 점화식을 λ² = λ + 1로 바꿉니다. 근은 φ와 ψ = (1 − √5) / 2입니다. 비네 공식은 이를 섞어 Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5입니다. |ψ| < 1이므로 둘째 거듭제곱은 사라지고 Fₙ은 φⁿ / √5에 가장 가까운 정수입니다. 루카스 수 2, 1, 3, 4, 7, 11, …도 같은 규칙을 따르므로 비 역시 φ에 가까워집니다.
자주 묻는 질문
피보나치 수열이란 무엇인가요?
F₀ = 0, F₁ = 1, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂인 수열입니다. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …로 시작합니다.
비가 황금비에 가까워지는 이유는 무엇인가요?
몫이 자리 잡으면 점화식이 그 극한 r이 r = 1 + 1/r을 만족하도록 강제해 r² − r − 1 = 0이 됩니다. 양의 해는 φ = (1 + √5) / 2입니다.
비네 공식이란 무엇인가요?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5이며 ψ = (1 − √5) / 2입니다. ψ 항이 줄어들므로 Fₙ은 φⁿ / √5에 가장 가까운 정수입니다.
황금각이란 무엇인가요?
한 바퀴를 φ²로 나눈 각, 약 137.5°. 그 각도로 씨앗을 놓고 반지름이 개수의 제곱근처럼 커지면 해바라기 나선을 그립니다. 보이는 나선 개수는 피보나치 수입니다.
수학 계산이 내 브라우저에서 돌아가나요?
네. 수열, 나선, 비, 씨앗은 모두 기기에서 계산됩니다. PNG를 저장하거나 PictorX 편집기에서 캔버스를 여세요.
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