Fibonacci-talrækken
Start med 0 og 1. Hvert næste Fibonacci-tal er summen af de to foregående: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Divider et led med det forrige, og kvotienterne nærmer sig det gyldne snit, cirka 1,618. Det er ikke et tilfælde. Ligningen φ² = φ + 1 er den samme regel som Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. PictorX tegner spiralen, forholdene, Binets formel og en solsikke i den gyldne vinkel. Lad kvadraterne vokse til en spiral, jag det gyldne snit, eller sammenlign Binets formel.
Sådan virker det
- Åbn denne side, og se kvadraterne vokse til en gylden spiral.
- Skift til Forhold for at se kvotienterne svinge mod φ, eller til Binet for at sammenligne den lukkede form.
- Åbn solsikken, prøv Lucas-tal, og gem derefter en PNG eller fortsæt i PictorX-editoren.
En regel med to hukommelser
F₀ = 0 og F₁ = 1. For hvert senere indeks gælder Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Listen er så fast: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Kvadraterne i spiralen har de sidelængder, så hvert nyt kvadrat passer til den lange side af det rektangel, der er bygget indtil da.
Hvorfor kvotienterne finder φ
Forholdene 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 svinger over og under et tal nær 1,618, og svinget skrumper. Hvis de sætter sig på en grænse r, bliver rekursionen divideret med det forrige led til r = 1 + 1/r. Det er r² − r − 1 = 0. Den positive rod er det gyldne snit φ = (1 + √5) / 2.
Samme ligning, derefter Binet
Et rent geometrisk gæt Fₙ = λⁿ gør rekursionen til λ² = λ + 1. Rødderne er φ og ψ = (1 − √5) / 2. Binets formel blander dem, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Fordi |ψ| < 1, svinder den anden potens, og Fₙ er heltallet nærmest φⁿ / √5. Lucas-tal 2, 1, 3, 4, 7, 11, … følger samme regel, så deres forhold nærmer sig også φ.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er Fibonacci-talrækken?
Følgen med F₀ = 0, F₁ = 1 og Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Den begynder 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Hvorfor nærmer forholdet sig det gyldne snit?
Hvis kvotienterne sætter sig, tvinger rekursionen grænsen r til at opfylde r = 1 + 1/r, så r² − r − 1 = 0. Den positive løsning er φ = (1 + √5) / 2.
Hvad er Binets formel?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, hvor ψ = (1 − √5) / 2. ψ-leddet skrumper, så Fₙ er det heltal, der ligger tættest på φⁿ / √5.
Hvad er den gyldne vinkel?
En fuld omgang divideret med φ², omkring 137,5°. Frø placeret i den vinkel, med radius der vokser som kvadratroden af antallet, tegner spiralerne i en solsikke. De synlige spiraltællinger er Fibonacci-tal.
Kører matematikken i min browser?
Ja. Følgen, spiralen, forholdene og frøene beregnes på din enhed. Gem en PNG, eller åbn lærredet i PictorX-editoren.
Relaterede værktøjer
Fibonacci-talrækken
Hvorfor på hinanden følgende Fibonacci-tal nærmer sig det gyldne snit, hvordan grænsen følger af rekursionen, og hvordan Binets formel genskaber hvert led ud fra φ.
Recamáns talfølge
Start ved 0. Hvert skridt hopper n tilbage, når den plads er positiv og ny, og ellers frem. Se halvcirklerne, de manglende tal og en melodi fra de samme hop.
Collatz-formodningen
Udforsk Collatz' 3n+1-problem i din browser. Følg haglkornsfølger, lad et geometrisk Collatz-træ vokse, og zoom ind i den kontinuerlige Collatz-fraktal.
Gangecirkler
Forbind hvert tal på en cirkel med dets multiplum. Tegn en tabel, en cardioide eller en snorfigur på papir, med kridt eller på træ.
Ulams spiral
Tegn Ulams spiral i din browser. Markér primtallene, læs andengradspolynomiet på hver diagonal, og åbn Eulers ubrudte række af 40 primtal.
Buffons Nål
Slip nåle ned på et gulv med linjer i din browser. Tæl krydsningerne, og se Buffons eksperiment fra 1777 estimere π.
Langtons Myre
Kør Langtons myre i din browser. Se symmetri, kaos og motorvejen på 104 trin, og prøv derefter flerfarvede regler, flere myrer, et sekskantnet og turmitter.
Er du klar til at prøve?
Åbn PictorX i din browser - ingen installation, ingen kreditkort kræves for at starte.
Gå til Editor