Șirul Fibonacci
Începe cu 0 și 1. Fiecare număr Fibonacci următor este suma celor două dinainte: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Împarte un termen la cel anterior și rapoartele se apropie de secțiunea de aur, cam 1,618. Nu este o coincidență. Ecuația φ² = φ + 1 este aceeași regulă ca Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. PictorX desenează spirala, rapoartele, formula lui Binet și o floarea-soarelui crescută la unghiul de aur. Lasă pătratele să crească într-o spirală, urmărește secțiunea de aur sau compară formula lui Binet.
Cum funcţionează
- Deschide această pagină și privește cum pătratele cresc într-o spirală de aur.
- Treci la Rapoarte ca să vezi câturi oscilând spre φ, sau la Binet ca să compari forma închisă.
- Deschide floarea-soarelui, încearcă numerele lui Lucas, apoi salvează un PNG sau continuă în editorul PictorX.
O regulă cu două memorii
F₀ = 0 și F₁ = 1. Pentru fiecare index ulterior, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Lista este atunci fixă: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Pătratele spiralei au acele lungimi de latură, astfel încât fiecare pătrat nou se potrivește pe latura lungă a dreptunghiului construit până atunci.
De ce găsesc câturi pe φ
Rapoartele 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 oscilează deasupra și sub un număr aproape de 1,618, iar oscilația se micșorează. Dacă se stabilizează la o limită r, recurența împărțită la termenul anterior devine r = 1 + 1/r. Asta e r² − r − 1 = 0. Rădăcina pozitivă este secțiunea de aur φ = (1 + √5) / 2.
Aceeași ecuație, apoi Binet
O presupunere geometrică pură Fₙ = λⁿ transformă recurența în λ² = λ + 1. Rădăcinile sunt φ și ψ = (1 − √5) / 2. Formula lui Binet le amestecă, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Pentru că |ψ| < 1, a doua putere se estompează, iar Fₙ este întregul cel mai apropiat de φⁿ / √5. Numerele lui Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, … respectă aceeași regulă, deci și rapoartele lor se apropie de φ.
Întrebări frecvente
Ce este șirul Fibonacci?
Șirul cu F₀ = 0, F₁ = 1 și Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Începe 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
De ce se apropie raportul de secțiunea de aur?
Dacă câturi se stabilizează, recurența forțează limita r să satisfacă r = 1 + 1/r, deci r² − r − 1 = 0. Soluția pozitivă este φ = (1 + √5) / 2.
Ce este formula lui Binet?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, unde ψ = (1 − √5) / 2. Termenul ψ se micșorează, deci Fₙ este întregul cel mai apropiat de φⁿ / √5.
Ce este unghiul de aur?
O tură completă împărțită la φ², circa 137,5°. Semințe așezate la acel unghi, cu raza crescând ca rădăcina pătrată a numărului, desenează spiralele unui floarea-soarelui. Numărătoarele de spirale vizibile sunt numere Fibonacci.
Rulează matematica în browserul meu?
Da. Șirul, spirala, rapoartele și semințele sunt calculate pe dispozitivul tău. Salvează un PNG sau deschide pânza în editorul PictorX.
Unelte conexe
Șirul Fibonacci
De ce numerele Fibonacci consecutive se apropie de secțiunea de aur, cum iese limita din recurență și cum formula lui Binet reconstruiește fiecare termen din φ.
Șirul lui Recamán
Pornește de la 0. Fiecare pas sare înapoi cu n când acel loc este pozitiv și nou, iar altfel sare înainte. Urmărește semicercurile, numerele lipsă și o melodie din aceleași salturi.
Conjectura Collatz
Explorează problema Collatz 3n+1 în browser. Urmărește șiruri grindină, crește un arbore Collatz geometric și mărește fractalul Collatz continuu.
Cercuri de înmulțire
Unește fiecare număr de pe un cerc cu multiplul său. Desenează o tablă a înmulțirii, o cardioidă sau o figură din fir pe hârtie, cu cretă sau pe lemn.
Spirala lui Ulam
Desenează spirala lui Ulam în browser. Marchează numerele prime, citește polinomul de gradul al doilea de pe fiecare diagonală și deschide șirul neîntrerupt de 40 de numere prime al lui Euler.
Acul lui Buffon
Lasă ace să cadă pe o podea liniată, în browser. Numără intersecțiile și urmărește cum experimentul lui Buffon din 1777 estimează π.
Furnica lui Langton
Rulează furnica lui Langton în browser. Urmărește simetria, haosul și autostrada de 104 pași, apoi încearcă reguli multicolore, mai multe furnici, o grilă hexagonală și turmite.
Eşti gata să încerci?
Deschide PictorX în browser-ul tău
Du-te la editor