Fibonacci dizisi
0 ve 1 ile başlayın. Sonraki her Fibonacci sayısı kendinden önceki ikisinin toplamıdır: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Bir terimi bir öncekine bölün; bölümler yaklaşık 1,618 olan altın orana yaklaşır. Bu bir rastlantı değildir. φ² = φ + 1 denklemi, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ kuralının aynısıdır. PictorX spirali, oranları, Binet formülünü ve altın açıyla büyüyen bir ayçiçeğini çizer. Kareleri spirale büyütün, altın oranı izleyin veya Binet formülünü karşılaştırın.
Nasıl çalışır
- Bu sayfayı açın ve karelerin altın spirale büyüdüğünü izleyin.
- Bölümlerin φ’ye salındığını görmek için Oranlar’a, kapalı biçimi karşılaştırmak için Binet’e geçin.
- Ayçiçeğini açın, Lucas sayılarını deneyin, sonra bir PNG kaydedin veya PictorX düzenleyicide devam edin.
İki bellekli bir kural
F₀ = 0 ve F₁ = 1. Sonraki her dizin için Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Liste böylece sabittir: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Spiraldeki kareler bu kenar uzunluklarına sahiptir; her yeni kare o ana kadar kurulan dikdörtgenin uzun kenarına uyar.
Bölümler φ’yi neden bulur
1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 oranları 1,618 civarındaki bir sayının üstünde ve altında salınır ve salınım küçülür. Bir r sınırına otururlarsa, önceki terime bölünen özyineleme r = 1 + 1/r olur. Yani r² − r − 1 = 0. Pozitif kök altın oran φ = (1 + √5) / 2’dir.
Aynı denklem, sonra Binet
Saf bir geometrik tahmin Fₙ = λⁿ özyinelemeyi λ² = λ + 1 yapar. Kökler φ ve ψ = (1 − √5) / 2’dir. Binet formülü bunları karıştırır: Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. |ψ| < 1 olduğu için ikinci kuvvet solar ve Fₙ, φⁿ / √5’e en yakın tam sayıdır. Lucas sayıları 2, 1, 3, 4, 7, 11, … aynı kurala uyar; oranları da φ’ye yaklaşır.
Sık sorulan sorular
Fibonacci dizisi nedir?
F₀ = 0, F₁ = 1 ve Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ olan dizi. 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … ile başlar.
Oran neden altın orana yaklaşır?
Bölümler oturursa özyineleme, r sınırının r = 1 + 1/r’yi sağlamasını zorlar; yani r² − r − 1 = 0. Pozitif çözüm φ = (1 + √5) / 2’dir.
Binet formülü nedir?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5 ve ψ = (1 − √5) / 2. ψ terimi küçülür, bu yüzden Fₙ, φⁿ / √5’e en yakın tam sayıdır.
Altın açı nedir?
Tam bir turun φ²’ye bölümü, yaklaşık 137,5°. O açıda yerleştirilen tohumlar, yarıçap sayıların karekökü gibi büyürken ayçiçeği spirallerini çizer. Görünen spiral sayıları Fibonacci sayılarıdır.
Matematik tarayıcımda mı çalışır?
Evet. Dizi, spiral, oranlar ve tohumlar cihazınızda hesaplanır. Bir PNG kaydedin veya tuvali PictorX düzenleyicide açın.
İlgili araçlar
Fibonacci dizisi
Ardışık Fibonacci sayılarının neden altın orana yaklaştığını, bu limitin yinelemeden nasıl çıktığını ve Binet formülünün her terimi φ ile nasıl kurduğunu anlatır.
Recamán dizisi
0'dan başlayın. Her adım, o yer pozitif ve yeniyse n kadar geri, değilse ileri sıçrar. Yarım daireleri, eksik sayıları ve aynı sıçramalardan doğan bir melodiyi izleyin.
Collatz sanısı
Collatz 3n+1 problemini tarayıcınızda keşfedin. Dolu dizilerini izleyin, geometrik bir Collatz ağacı büyütün ve sürekli Collatz fraktalına yakınlaşın.
Çarpım çemberleri
Çemberdeki her sayıyı katına bağlayın. Kâğıtta, tebeşirle ya da ahşapta bir çarpım tablosu, bir kardiyoid veya bir ip figürü çizin.
Ulam sarmalı
Ulam sarmalını tarayıcınızda çizin. Asalları işaretleyin, her köşegendeki ikinci dereceden polinomu okuyun ve Euler’in kesintisiz 40 asallık dizisini açın.
Buffon iğnesi
Tarayıcınızda çizgili bir zemine iğneler düşürün. Kesişmeleri sayın ve Buffon’un 1777 deneyinin π’yi nasıl tahmin ettiğini izleyin.
Langton Karıncası
Langton karıncasını tarayıcınızda çalıştırın. Simetriyi, kaosu ve 104 adımlık otoyolu izleyin; ardından çok renkli kuralları, birkaç karıncayı, altıgen ızgarayı ve turmitleri deneyin.
Bunu denemeye hazır mısın?
Pencere PictorX tarayıcınızda - yükleme yok, başlamak için gerekli kredi kartı yok.
Editöre Git