A sequência de Fibonacci
Comece em 0 e 1. Cada número de Fibonacci seguinte é a soma dos dois anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Divida um termo pelo anterior e os quocientes aproximam-se da razão áurea, cerca de 1,618. Não é coincidência. A equação φ² = φ + 1 é a mesma regra que Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. O PictorX desenha a espiral, os quocientes, a fórmula de Binet e um girassol crescido no ângulo áureo. Faça os quadrados crescerem numa espiral, persiga a razão áurea ou compare a fórmula de Binet.
Como funciona
- Abra esta página e veja os quadrados crescerem numa espiral dourada.
- Mude para Razões para ver os quocientes oscilar em direção a φ, ou para Binet para comparar a forma fechada.
- Abra o girassol, experimente os números de Lucas e depois guarde um PNG ou continue no editor PictorX.
Uma regra com duas memórias
F₀ = 0 e F₁ = 1. Para cada índice posterior, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. A lista fica então fixa: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Os quadrados da espiral têm esses comprimentos de lado, de modo que cada quadrado novo encaixa no lado longo do retângulo construído até aí.
Por que os quocientes encontram φ
As razões 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 oscilam acima e abaixo de um número perto de 1,618, e a oscilação diminui. Se se estabilizam num limite r, a recorrência dividida pelo termo anterior torna-se r = 1 + 1/r. Isso é r² − r − 1 = 0. A raiz positiva é a razão áurea φ = (1 + √5) / 2.
A mesma equação, depois Binet
Um palpite geométrico puro Fₙ = λⁿ transforma a recorrência em λ² = λ + 1. As raízes são φ e ψ = (1 − √5) / 2. A fórmula de Binet mistura-as, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Como |ψ| < 1, a segunda potência desaparece, e Fₙ é o inteiro mais próximo de φⁿ / √5. Os números de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, … obedecem à mesma regra, logo as suas razões também se aproximam de φ.
Perguntas frequentes
O que é a sequência de Fibonacci?
A sequência com F₀ = 0, F₁ = 1 e Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Começa 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Por que a razão se aproxima da razão áurea?
Se os quocientes se estabilizam, a recorrência força o limite r a satisfazer r = 1 + 1/r, logo r² − r − 1 = 0. A solução positiva é φ = (1 + √5) / 2.
O que é a fórmula de Binet?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, onde ψ = (1 − √5) / 2. O termo ψ encolhe, logo Fₙ é o inteiro mais próximo de φⁿ / √5.
O que é o ângulo de ouro?
Uma volta completa dividida por φ², cerca de 137,5°. Sementes colocadas nesse ângulo, com raio a crescer como a raiz quadrada da contagem, desenham as espirais de um girassol. As contagens de espirais visíveis são números de Fibonacci.
A matemática corre no meu navegador?
Sim. A sequência, a espiral, as razões e as sementes são calculadas no seu dispositivo. Guarde um PNG ou abra a tela no editor PictorX.
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Porque os números de Fibonacci consecutivos se aproximam da razão áurea, como esse limite sai da recorrência e como a fórmula de Binet reconstrói cada termo a partir de φ.
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