मुफ़्त फिबोनाची अनुक्रम | स्वर्ण अनुपात और सर्पिल

यह कैसे काम करता है

यह पृष्ठ खोलें और वर्गों को स्वर्ण सर्पिल में बढ़ते देखें।
भागफलों को φ की ओर दोलन करते देखने के लिए अनुपात पर जाएँ, या बंद रूप की तुलना के लिए बिने पर।
सूरजमुखी खोलें, लुकास संख्याएँ आज़माएँ, फिर PNG सहेजें या PictorX संपादक में जारी रखें।

दो स्मृतियों वाला नियम

F₀ = 0 और F₁ = 1। बाद के हर सूचकांक के लिए Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂। सूची तब तय हो जाती है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …। सर्पिल के वर्गों की भुजाएँ वही लंबाइयाँ हैं, इसलिए हर नया वर्ग अब तक बने आयत की लंबी भुजा से मेल खाता है।

भागफल φ क्यों पाते हैं

अनुपात 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 लगभग 1.618 के ऊपर-नीचे झूलते हैं, और झूला सिकुड़ता है। यदि वे सीमा r पर बैठ जाएँ, तो पिछले पद से विभाजित पुनरावृत्ति r = 1 + 1/r बन जाती है। अर्थात् r² − r − 1 = 0। धनात्मक मूल स्वर्ण अनुपात φ = (1 + √5) / 2 है।

वही समीकरण, फिर बिने

शुद्ध ज्यामितीय अनुमान Fₙ = λⁿ पुनरावृत्ति को λ² = λ + 1 बना देता है। मूल हैं φ और ψ = (1 − √5) / 2। बिने का सूत्र उन्हें मिलाता है, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5। क्योंकि |ψ| < 1, दूसरी घात फीकी पड़ती है, और Fₙ वह पूर्णांक है जो φⁿ / √5 के सबसे निकट है। लुकास संख्याएँ 2, 1, 3, 4, 7, 11, … वही नियम मानती हैं, इसलिए उनके अनुपात भी φ की ओर बढ़ते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

फिबोनाची अनुक्रम क्या है?

F₀ = 0, F₁ = 1 और Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ वाला अनुक्रम। यह 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … से शुरू होता है।

अनुपात स्वर्ण अनुपात की ओर क्यों बढ़ता है?

यदि भागफल बैठ जाएँ, तो पुनरावृत्ति सीमा r को r = 1 + 1/r मनवाती है, अतः r² − r − 1 = 0। धनात्मक हल φ = (1 + √5) / 2 है।

बिने का सूत्र क्या है?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, जहाँ ψ = (1 − √5) / 2। ψ पद सिकुड़ता है, इसलिए Fₙ वह पूर्णांक है जो φⁿ / √5 के सबसे निकट है।

स्वर्ण कोण क्या है?

एक पूरा चक्कर φ² से भाग — लगभग 137.5°। उस कोण पर बीज, त्रिज्या गिनती के वर्गमूल की तरह बढ़ती हुई, सूरजमुखी के सर्पिल बनाते हैं। दिखाई देने वाली सर्पिल संख्याएँ फिबोनाची संख्याएँ हैं।

क्या गणित मेरे ब्राउज़र में चलता है?

हाँ। अनुक्रम, सर्पिल, अनुपात और बीज आपके उपकरण पर गणना होते हैं। PNG सहेजें या PictorX संपादक में कैनवास खोलें।