两个数与一个和
数列通常从 F₀ = 0 和 F₁ = 1 开始。对每个至少为 2 的 n，有 Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂。再无其他规则：没有额外因子，也不判断奇偶。由这两个种子，整列就被完全确定：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
前几项
F₂ = 1 + 0 = 1。F₃ = 1 + 1 = 2。F₄ = 2 + 1 = 3。F₅ = 3 + 2 = 5。每一步只回看前一项和前两项。卢卡斯数列用同样的加法，但种子是 2 和 1，得到 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, …。应用可以绘制任一数列。螺旋上的方块边长是斐波那契数 1, 1, 2, 3, 5, 8, …，因此每个新方块正好贴合已画出矩形的长边。
为什么比值会趋近同一个数
记 rₙ = Fₙ / Fₙ₋₁。最初的几个商是 1/1 = 1、2/1 = 2、3/2 = 1.5、5/3 ≈ 1.6667、8/5 = 1.6、13/8 = 1.625、21/13 ≈ 1.6154。它们在大约 1.618 上下摆动，且摆动越来越小。 假设这些商趋于极限 r。那么当 n 很大时，Fₙ / Fₙ₋₁ 与 Fₙ₋₁ / Fₙ₋₂ 都大约等于 r。用 Fₙ₋₁ 去除递推式： Fₙ / Fₙ₋₁ = 1 + Fₙ₋₂ / Fₙ₋₁。 取极限得到 r = 1 + 1/r。两边乘以 r 得 r² = r + 1，即 r² − r − 1 = 0。求根公式给出 r = (1 ± √5) / 2。正根就是黄金比例 φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887。
规则中隐藏的方程
寻找形如 Fₙ = λⁿ 的解。递推变成 λⁿ = λⁿ⁻¹ + λⁿ⁻²。除以 λⁿ⁻² 得到 λ² = λ + 1，与前面同一方程。其根为 φ = (1 + √5) / 2 与 ψ = (1 − √5) / 2。ψ 约为 −0.618，故 |ψ| < 1，其幂趋向 0。凡服从斐波那契规则的数列，都是这两种幂的线性组合。黄金比例不是事后贴上的额外事实。方程 φ² = φ + 1 正是写成纯等比数列时的递推。
比内公式
从 0 和 1 出发的那种组合就是比内公式 Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5。因为 |ψ| < 1，第二项的幂很快变得极小，于是 Fₙ 几乎等于 φⁿ / √5。对每个 n，缺的那一块都小于 1/2，所以把 φⁿ / √5 四舍五入到最近整数就得到精确的斐波那契数。应用会把精确项、φ 的幂和不断缩小的误差并排列出。
线性规则，与科拉茨不同
斐波那契数服从线性递推：下一项是前面项的固定组合，与奇偶无关。科拉茨序列使用非线性的奇偶规则，n/2 或 3n+1，尚无人证明每个起点都会到达 1。斐波那契规则已被完全解开。其封闭形式、增长以及黄金比例极限，都出自同一个二次方程。像卢卡斯数列那样改换两个种子，极限仍是 φ，因为极限藏在规则里。
黄金角
一整圈除以 φ² 约等于 137.5078°。按这个固定角度放置种子，让半径随索引的平方根增长，点就会挤成螺旋。能数出的螺旋条数是相邻的斐波那契数。这就是应用里的向日葵视图。
在 PictorX 中探索
打开斐波那契数列，让方块长成螺旋，把比值相对 φ 画出，核对比内公式，或按黄金角撒种。切换到卢卡斯数，比值仍会趋近 φ。拖动平移，滚轮缩放，然后保存 PNG，或在 PictorX 编辑器中打开画布。可与科拉茨猜想或乘法圆搭配，用简短规则画出更多图。
常见问题
什么是斐波那契数列？
由 F₀ = 0、F₁ = 1 以及 Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ 定义的数列。它从 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … 开始。
为什么比值会趋近黄金比例？
若相邻项的商趋于极限 r，递推迫使 r = 1 + 1/r，于是 r² − r − 1 = 0。正解是 φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887。
什么是比内公式？
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5，其中 ψ = (1 − √5) / 2。ψ 的幂会缩小，因此 Fₙ 是最接近 φⁿ / √5 的整数。
卢卡斯数也会这样吗？
会。卢卡斯数从 2 和 1 开始，随后用同样的加法。相邻比值同样趋近 φ，因为极限来自递推，而不是那两个种子。
绘图会离开我的设备吗？
不会。数列、螺旋、图表和种子都在您的浏览器中计算。可保存 PNG，或在 PictorX 编辑器中打开画布。
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