La successione di Fibonacci
Parti da 0 e 1. Ogni numero di Fibonacci successivo è la somma dei due precedenti: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Dividi un termine per il precedente e i quozienti si avvicinano alla sezione aurea, circa 1,618. Non è un caso. L'equazione φ² = φ + 1 è la stessa regola di Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. PictorX disegna la spirale, i rapporti, la formula di Binet e un girasole cresciuto all'angolo aureo. Fai crescere i quadrati in una spirale, insegui la sezione aurea o confronta la formula di Binet.
Come funziona
- Apri questa pagina e guarda i quadrati crescere in una spirale aurea.
- Passa a Rapporti per vedere i quozienti oscillare verso φ, o a Binet per confrontare la forma chiusa.
- Apri il girasole, prova i numeri di Lucas, poi salva un PNG o continua nell'editor PictorX.
Una regola con due memorie
F₀ = 0 e F₁ = 1. Per ogni indice successivo, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. L'elenco è così fissato: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … I quadrati della spirale hanno quelle lunghezze di lato, così ogni nuovo quadrato combacia con il lato lungo del rettangolo costruito finora.
Perché i quozienti trovano φ
I rapporti 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 oscillano sopra e sotto un numero vicino a 1,618, e l'ampiezza diminuisce. Se si assestano su un limite r, la ricorrenza divisa per il termine precedente diventa r = 1 + 1/r. Cioè r² − r − 1 = 0. La radice positiva è la sezione aurea φ = (1 + √5) / 2.
La stessa equazione, poi Binet
Un'ipotesi geometrica pura Fₙ = λⁿ trasforma la ricorrenza in λ² = λ + 1. Le radici sono φ e ψ = (1 − √5) / 2. La formula di Binet le mescola, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Poiché |ψ| < 1, la seconda potenza svanisce e Fₙ è l'intero più vicino a φⁿ / √5. I numeri di Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, … obbediscono alla stessa regola, quindi anche i loro rapporti si avvicinano a φ.
Domande frequenti
Che cos'è la successione di Fibonacci?
La successione con F₀ = 0, F₁ = 1 e Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Inizia 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Perché il rapporto si avvicina alla sezione aurea?
Se i quozienti si assestano, la ricorrenza impone che il limite r soddisfi r = 1 + 1/r, quindi r² − r − 1 = 0. La soluzione positiva è φ = (1 + √5) / 2.
Che cos'è la formula di Binet?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, dove ψ = (1 − √5) / 2. Il termine ψ si restringe, quindi Fₙ è l'intero più vicino a φⁿ / √5.
Che cos'è l'angolo aureo?
Un giro completo diviso per φ², circa 137,5°. Semi posti a quell'angolo, con raggio che cresce come la radice quadrata del conteggio, disegnano le spirali di un girasole. I conteggi delle spirali visibili sono numeri di Fibonacci.
La matematica gira nel mio browser?
Sì. La successione, la spirale, i rapporti e i semi sono calcolati sul tuo dispositivo. Salva un PNG o apri il canvas nell'editor PictorX.
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