Fibonaccis talföljd
Börja med 0 och 1. Varje nästa Fibonaccital är summan av de två föregående: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Dividera ett tal med det föregående så närmar sig kvoterna det gyllene snittet, cirka 1,618. Det är ingen slump. Ekvationen φ² = φ + 1 är samma regel som Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. PictorX ritar spiralen, kvoterna, Binets formel och en solros i den gyllene vinkeln. Låt kvadraterna växa till en spiral, jaga gyllene snittet eller jämför Binets formel.
Hur det fungerar
- Öppna den här sidan och se kvadraterna växa till en gyllene spiral.
- Byt till Kvoter för att se kvoterna svänga mot φ, eller till Binet för att jämföra den slutna formen.
- Öppna solrosen, prova Lucastal och spara sedan en PNG eller fortsätt i PictorX-redigeraren.
En regel med två minnen
F₀ = 0 och F₁ = 1. För varje senare index gäller Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Listan är då bestämd: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Kvadraterna i spiralen har de sidolängderna, så varje ny kvadrat passar den långa sidan av den rektangel som byggts hittills.
Varför kvoterna hittar φ
Kvoterna 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 svänger över och under ett tal nära 1,618, och svängningen krymper. Om de landar på ett gränsvärde r blir rekursionen dividerad med föregående term r = 1 + 1/r. Det är r² − r − 1 = 0. Den positiva roten är gyllene snittet φ = (1 + √5) / 2.
Samma ekvation, sedan Binet
En ren geometrisk gissning Fₙ = λⁿ gör rekursionen till λ² = λ + 1. Rötterna är φ och ψ = (1 − √5) / 2. Binets formel blandar dem, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Eftersom |ψ| < 1 bleknar den andra potensen, och Fₙ är heltalet närmast φⁿ / √5. Lucastal 2, 1, 3, 4, 7, 11, … lyder samma regel, så deras kvoter närmar sig också φ.
Ofta ställda frågor
Vad är Fibonacciföljden?
Följden med F₀ = 0, F₁ = 1 och Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Den börjar 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Varför närmar sig kvoten gyllene snittet?
Om kvoterna landar tvingar rekursionen gränsvärdet r att uppfylla r = 1 + 1/r, så r² − r − 1 = 0. Den positiva lösningen är φ = (1 + √5) / 2.
Vad är Binets formel?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, där ψ = (1 − √5) / 2. ψ-termen krymper, så Fₙ är heltalet närmast φⁿ / √5.
Vad är den gyllene vinkeln?
Ett fullt varv delat med φ², ungefär 137,5°. Frön placerade i den vinkeln, med radie som växer som kvadratroten av antalet, ritar spiralerna hos en solros. De synliga spiralräkningarna är Fibonaccital.
Körs matematiken i min webbläsare?
Ja. Följden, spiralen, kvoterna och fröna beräknas på din enhet. Spara en PNG eller öppna duken i PictorX-redigeraren.
Relaterade verktyg
Fibonaccis talföljd
Varför på varandra följande Fibonaccital närmar sig det gyllene snittet, hur gränsen följer av rekursionen och hur Binets formel återskapar varje tal ur φ.
Recamáns talföljd
Börja på 0. Varje steg hoppar n bakåt när den platsen är positiv och ny, och annars framåt. Se halvcirklarna, de saknade talen och en melodi av samma hopp.
Collatz-förmodan
Utforska Collatz 3n+1-problem i webbläsaren. Följ hagelföljder, låt ett geometriskt Collatz-träd växa och zooma in i den kontinuerliga Collatz-fraktalen.
Multiplikationscirklar
Förbind varje tal på en cirkel med dess multipel. Rita en multiplikationstabell, en kardioid eller en snörfigur på papper, med krita eller på trä.
Ulams spiral
Rita Ulams spiral i webbläsaren. Markera primtalen, läs andragradspolynomet på varje diagonal och öppna Eulers obrutna följd av 40 primtal.
Buffons Nål
Släpp nålar på ett linjerat golv i webbläsaren. Räkna korsningarna och se Buffons experiment från 1777 skatta π.
Langtons Myra
Kör Langtons myra i webbläsaren. Se symmetri, kaos och motorvägen på 104 steg, och prova sedan flerfärgade regler, flera myror, ett sexkantigt rutnät och turmiter.
Redo att prova det?
Öppna PictorX i din webbläsare - ingen installation, inget kreditkort krävs för att starta.
Gå till Editor