Ciąg Fibonacciego
Zacznij od 0 i 1. Każda następna liczba Fibonacciego jest sumą dwóch poprzednich: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Podziel wyraz przez poprzedni, a ilorazy zbliżają się do złotej proporcji, około 1,618. To nie przypadek. Równanie φ² = φ + 1 jest tą samą regułą co Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. PictorX rysuje spiralę, ilorazy, wzór Bineta i słonecznik w złotym kącie. Pozwól kwadratom rosnąć w spiralę, ścigaj złotą proporcję lub porównaj wzór Bineta.
Jak to działa
- Otwórz tę stronę i zobacz, jak kwadraty rosną w złotą spiralę.
- Przełącz na Ilorazy, by zobaczyć wahania ku φ, albo na Bineta, by porównać postać zamkniętą.
- Otwórz słonecznik, wypróbuj liczby Lucasa, potem zapisz PNG lub kontynuuj w edytorze PictorX.
Reguła z dwiema pamięciami
F₀ = 0 i F₁ = 1. Dla każdego późniejszego indeksu Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Lista jest wtedy ustalona: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Kwadraty spirali mają te długości boków, więc każdy nowy kwadrat pasuje do długiego boku prostokąta zbudowanego dotychczas.
Dlaczego ilorazy znajdują φ
Ilorazy 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 wahają się powyżej i poniżej liczby bliskiej 1,618, a wahanie maleje. Jeśli zbiegają do granicy r, rekursja podzielona przez poprzedni wyraz staje się r = 1 + 1/r. To r² − r − 1 = 0. Dodatni pierwiastek to złota proporcja φ = (1 + √5) / 2.
To samo równanie, potem Binet
Czysto geometryczne przypuszczenie Fₙ = λⁿ zamienia rekursję w λ² = λ + 1. Pierwiastki to φ oraz ψ = (1 − √5) / 2. Wzór Bineta je miesza, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Ponieważ |ψ| < 1, druga potęga zanika, a Fₙ jest liczbą całkowitą najbliższą φⁿ / √5. Liczby Lucasa 2, 1, 3, 4, 7, 11, … spełniają tę samą regułę, więc ich ilorazy też zbiegają do φ.
Często zadawane pytania
Czym jest ciąg Fibonacciego?
Ciąg z F₀ = 0, F₁ = 1 oraz Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Zaczyna się 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Dlaczego iloraz zbliża się do złotej proporcji?
Jeśli ilorazy się ustalają, rekursja wymusza, by granica r spełniała r = 1 + 1/r, więc r² − r − 1 = 0. Dodatnie rozwiązanie to φ = (1 + √5) / 2.
Czym jest wzór Bineta?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, gdzie ψ = (1 − √5) / 2. Wyraz ψ maleje, więc Fₙ jest liczbą całkowitą najbliższą φⁿ / √5.
Czym jest złoty kąt?
Pełny obrót podzielony przez φ², około 137,5°. Ziarna ustawione pod tym kątem, z promieniem rosnącym jak pierwiastek z licznika, rysują spirale słonecznika. Widoczne liczby spiral to liczby Fibonacciego.
Czy obliczenia działają w mojej przeglądarce?
Tak. Ciąg, spirala, ilorazy i ziarna są liczone na Twoim urządzeniu. Zapisz PNG lub otwórz płótno w edytorze PictorX.
Powiązane narzędzia
Ciąg Fibonacciego
Dlaczego kolejne liczby Fibonacciego zbliżają się do złotej proporcji, jak ta granica wynika z rekurencji i jak wzór Bineta odtwarza każdy wyraz z φ.
Ciąg Recamána
Zacznij od 0. Każdy krok cofa się o n, gdy to miejsce jest dodatnie i nowe, a w przeciwnym razie skacze do przodu. Zobacz półokręgi, brakujące liczby i melodię z tych samych skoków.
Hipoteza Collatza
Poznaj problem Collatza 3n+1 w przeglądarce. Śledź ciągi gradowe, wyhoduj geometryczne drzewo Collatza i przybliżaj ciągły fraktal Collatza.
Koła mnożenia
Połącz każdą liczbę na okręgu z jej wielokrotnością. Narysuj tabliczkę mnożenia, kardioidę lub figurę z nici na papierze, kredą albo na drewnie.
Spirala Ulama
Narysuj spiralę Ulama w przeglądarce. Zaznacz liczby pierwsze, odczytaj wielomian kwadratowy każdej przekątnej i otwórz nieprzerwany ciąg 40 liczb pierwszych Eulera.
Igła Buffona
Upuszczaj igły na podłogę w linie w przeglądarce. Policz przecięcia i zobacz, jak eksperyment Buffona z 1777 roku szacuje π.
Mrówka Langtona
Uruchom mrówkę Langtona w przeglądarce. Zobacz symetrię, chaos i autostradę o cyklu 104 kroków, a potem wypróbuj reguły wielokolorowe, kilka mrówek, siatkę sześciokątną i turmity.
Chcesz wypróbować?
Otwórz PictorX w swojej przeglądarce — do uruchomienia nie jest wymagana żadna instalacja ani karta kredytowa.
Przejdź do edytora