Dãy Fibonacci miễn phí | Tỉ lệ vàng và vòng xoắn

Cách nó hoạt động

Mở trang này và xem các hình vuông lớn thành xoắn ốc vàng.
Chuyển sang Tỉ số để xem các thương dao động về φ, hoặc sang Binet để so dạng đóng.
Mở hướng dương, thử số Lucas, rồi lưu PNG hoặc tiếp tục trong trình chỉnh sửa PictorX.

Quy tắc với hai bộ nhớ

F₀ = 0 và F₁ = 1. Với mọi chỉ số sau đó, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Danh sách khi ấy cố định: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. Các hình vuông trong xoắn ốc có đúng các cạnh đó, nên mỗi hình vuông mới khớp cạnh dài của hình chữ nhật đã dựng.

Vì sao các thương tìm ra φ

Các tỉ số 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 dao động trên dưới một số gần 1,618, và biên độ co lại. Nếu chúng ổn định ở giới hạn r, hệ thức chia cho số hạng trước thành r = 1 + 1/r. Đó là r² − r − 1 = 0. Nghiệm dương là tỉ lệ vàng φ = (1 + √5) / 2.

Cùng phương trình, rồi Binet

Giả thuyết cấp số nhân thuần Fₙ = λⁿ biến hệ thức thành λ² = λ + 1. Nghiệm là φ và ψ = (1 − √5) / 2. Công thức Binet trộn chúng, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Vì |ψ| < 1, lũy thừa thứ hai phai đi, và Fₙ là số nguyên gần φⁿ / √5 nhất. Số Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, … tuân cùng quy tắc, nên tỉ số cũng tiến tới φ.

Hỏi thường xuyên

Dãy Fibonacci là gì?

Dãy với F₀ = 0, F₁ = 1 và Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Bắt đầu 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

Vì sao tỉ số tiến tới tỉ lệ vàng?

Nếu các thương ổn định, hệ thức buộc giới hạn r thỏa r = 1 + 1/r, nên r² − r − 1 = 0. Nghiệm dương là φ = (1 + √5) / 2.

Công thức Binet là gì?

Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, với ψ = (1 − √5) / 2. Hạng ψ co lại, nên Fₙ là số nguyên gần φⁿ / √5 nhất.

Góc vàng là gì?

Một vòng đầy đủ chia cho φ², khoảng 137,5°. Hạt đặt ở góc đó, bán kính tăng như căn bậc hai của số đếm, vẽ các xoắn ốc của hướng dương. Số xoắn ốc nhìn thấy được là số Fibonacci.

Phép tính có chạy trong trình duyệt của tôi không?

Có. Dãy, xoắn ốc, tỉ số và hạt đều được tính trên thiết bị của bạn. Lưu PNG hoặc mở canvas trong trình chỉnh sửa PictorX.