La sucesión de Fibonacci
Empieza en 0 y 1. Cada número de Fibonacci siguiente es la suma de los dos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Divide un término entre el anterior y los cocientes se acercan a la razón áurea, cerca de 1,618. No es casualidad. La ecuación φ² = φ + 1 es la misma regla que Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. PictorX dibuja la espiral, los cocientes, la fórmula de Binet y un girasol crecido en el ángulo áureo. Haz crecer los cuadrados en una espiral, persigue la razón áurea o compara la fórmula de Binet.
como funciona
- Abre esta página y observa cómo los cuadrados crecen hasta una espiral áurea.
- Cambia a Razones para ver los cocientes oscilar hacia φ, o a Binet para comparar la forma cerrada.
- Abre el girasol, prueba los números de Lucas y luego guarda un PNG o sigue en el editor PictorX.
Una regla con dos memorias
F₀ = 0 y F₁ = 1. Para todo índice posterior, Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. La lista queda fijada: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Los cuadrados de la espiral tienen esas longitudes de lado, de modo que cada cuadrado nuevo encaja en el lado largo del rectángulo construido hasta entonces.
Por qué los cocientes encuentran φ
Las razones 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 oscilan por encima y por debajo de un número cerca de 1,618, y la oscilación se reduce. Si se asientan en un límite r, la recurrencia dividida por el término anterior pasa a r = 1 + 1/r. Eso es r² − r − 1 = 0. La raíz positiva es la razón áurea φ = (1 + √5) / 2.
La misma ecuación, luego Binet
Una hipótesis geométrica pura Fₙ = λⁿ convierte la recurrencia en λ² = λ + 1. Las raíces son φ y ψ = (1 − √5) / 2. La fórmula de Binet las mezcla, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Como |ψ| < 1, la segunda potencia se desvanece, y Fₙ es el entero más cercano a φⁿ / √5. Los números de Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, … obedecen la misma regla, así que sus razones también se acercan a φ.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la sucesión de Fibonacci?
La sucesión con F₀ = 0, F₁ = 1 y Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Empieza 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
¿Por qué la razón se acerca a la razón áurea?
Si los cocientes se asientan, la recurrencia fuerza que el límite r cumpla r = 1 + 1/r, así que r² − r − 1 = 0. La solución positiva es φ = (1 + √5) / 2.
¿Qué es la fórmula de Binet?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, donde ψ = (1 − √5) / 2. El término ψ se encoge, así que Fₙ es el entero más cercano a φⁿ / √5.
¿Qué es el ángulo áureo?
Una vuelta completa dividida por φ², unos 137,5°. Semillas colocadas en ese ángulo, con radio que crece como la raíz cuadrada del conteo, dibujan las espirales de un girasol. Los conteos de espirales visibles son números de Fibonacci.
¿Las matemáticas se ejecutan en mi navegador?
Sí. La sucesión, la espiral, las razones y las semillas se calculan en tu dispositivo. Guarda un PNG o abre el lienzo en el editor PictorX.
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