Die Fibonacci-Folge
Beginnen Sie mit 0 und 1. Jede weitere Fibonacci-Zahl ist die Summe der beiden vorigen: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Teilt man einen Term durch den vorigen, nähern sich die Quotienten dem Goldenen Schnitt, etwa 1,618. Das ist kein Zufall. Die Gleichung φ² = φ + 1 ist dieselbe Regel wie Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. PictorX zeichnet die Spirale, die Quotienten, Binets Formel und eine Sonnenblume im goldenen Winkel. Lassen Sie die Quadrate zur Spirale wachsen, verfolgen Sie den Goldenen Schnitt oder vergleichen Sie Binets Formel.
Wie es funktioniert
- Öffnen Sie diese Seite und sehen Sie, wie die Quadrate zu einer goldenen Spirale wachsen.
- Wechseln Sie zu Quotienten, um die Schwingung gegen φ zu sehen, oder zu Binet, um die geschlossene Form zu vergleichen.
- Öffnen Sie die Sonnenblume, probieren Sie Lucas-Zahlen und speichern Sie dann ein PNG oder fahren Sie im PictorX-Editor fort.
Eine Regel mit zwei Gedächtnissen
F₀ = 0 und F₁ = 1. Für jeden späteren Index gilt Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Die Liste ist dann fest: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Die Quadrate der Spirale haben genau diese Seitenlängen, sodass jedes neue Quadrat an die lange Seite des bisher gebauten Rechtecks passt.
Warum die Quotienten φ finden
Die Quotienten 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 schwingen über und unter einer Zahl nahe 1,618, und die Schwingung wird kleiner. Setzen sie sich auf einen Grenzwert r, wird die durch den vorherigen Term geteilte Rekursion zu r = 1 + 1/r. Das ist r² − r − 1 = 0. Die positive Wurzel ist der Goldene Schnitt φ = (1 + √5) / 2.
Dieselbe Gleichung, dann Binet
Ein rein geometrischer Ansatz Fₙ = λⁿ macht aus der Rekursion λ² = λ + 1. Die Wurzeln sind φ und ψ = (1 − √5) / 2. Binets Formel mischt sie, Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Weil |ψ| < 1, schwindet die zweite Potenz, und Fₙ ist die ganze Zahl nächst zu φⁿ / √5. Lucas-Zahlen 2, 1, 3, 4, 7, 11, … gehorchen derselben Regel, daher nähern sich auch ihre Quotienten φ.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Fibonacci-Folge?
Die Folge mit F₀ = 0, F₁ = 1 und Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Sie beginnt 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Warum nähert sich der Quotient dem Goldenen Schnitt?
Wenn die Quotienten sich setzen, erzwingt die Rekursion, dass der Grenzwert r die Gleichung r = 1 + 1/r erfüllt, also r² − r − 1 = 0. Die positive Lösung ist φ = (1 + √5) / 2.
Was ist Binets Formel?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5 mit ψ = (1 − √5) / 2. Der ψ-Term schrumpft, daher ist Fₙ die ganze Zahl, die φⁿ / √5 am nächsten liegt.
Was ist der goldene Winkel?
Eine volle Drehung geteilt durch φ², etwa 137,5°. Samen in diesem Winkel, mit einem Radius wie der Quadratwurzel der Anzahl, zeichnen die Spiralen einer Sonnenblume. Die sichtbaren Spiralzahlen sind Fibonacci-Zahlen.
Läuft die Mathematik in meinem Browser?
Ja. Folge, Spirale, Quotienten und Samen werden auf Ihrem Gerät berechnet. Speichern Sie ein PNG oder öffnen Sie die Leinwand im PictorX-Editor.
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