Последовательность Фибоначчи
Начните с 0 и 1. Каждое следующее число Фибоначчи — сумма двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Поделите член на предыдущий, и частные приближаются к золотому сечению, около 1,618. Это не случайность. Уравнение φ² = φ + 1 — то же правило, что Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. PictorX рисует спираль, отношения, формулу Бине и подсолнух, выросший под золотым углом. Вырастите квадраты в спираль, догоните золотое сечение или сравните формулу Бине.
Как это работает
- Откройте эту страницу и смотрите, как квадраты вырастают в золотую спираль.
- Перейдите к «Отношениям», чтобы увидеть колебания к φ, или к Бине — сравнить замкнутую форму.
- Откройте подсолнух, попробуйте числа Люка, затем сохраните PNG или продолжите в редакторе PictorX.
Правило с двумя памятями
F₀ = 0 и F₁ = 1. Для каждого следующего индекса Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Список тогда фиксирован: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … Квадраты спирали имеют эти длины сторон, так что каждый новый квадрат совпадает с длинной стороной уже построенного прямоугольника.
Почему частные находят φ
Отношения 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 качаются выше и ниже числа около 1,618, и размах уменьшается. Если они стремятся к пределу r, рекурренция, делённая на предыдущий член, даёт r = 1 + 1/r. То есть r² − r − 1 = 0. Положительный корень — золотое сечение φ = (1 + √5) / 2.
То же уравнение, затем Бине
Чисто геометрическая догадка Fₙ = λⁿ превращает рекурренцию в λ² = λ + 1. Корни — φ и ψ = (1 − √5) / 2. Формула Бине их смешивает: Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5. Поскольку |ψ| < 1, вторая степень затухает, и Fₙ — целое, ближайшее к φⁿ / √5. Числа Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, … подчиняются тому же правилу, поэтому их отношения тоже стремятся к φ.
Часто задаваемые вопросы
Что такое последовательность Фибоначчи?
Последовательность с F₀ = 0, F₁ = 1 и Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂. Начинается 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Почему отношение стремится к золотому сечению?
Если частные стабилизируются, рекурренция требует, чтобы предел r удовлетворял r = 1 + 1/r, значит r² − r − 1 = 0. Положительное решение — φ = (1 + √5) / 2.
Что такое формула Бине?
Fₙ = (φⁿ − ψⁿ) / √5, где ψ = (1 − √5) / 2. Член ψ сжимается, поэтому Fₙ — целое, ближайшее к φⁿ / √5.
Что такое золотой угол?
Полный оборот, делённый на φ², около 137,5°. Семена под этим углом, с радиусом как квадратный корень счётчика, рисуют спирали подсолнуха. Видимые числа спиралей — числа Фибоначчи.
Вычисления идут в моём браузере?
Да. Последовательность, спираль, отношения и семена считаются на вашем устройстве. Сохраните PNG или откройте холст в редакторе PictorX.
Сопутствующие инструменты
Последовательность Фибоначчи
Почему соседние числа Фибоначчи стремятся к золотому сечению, как этот предел следует из рекуррентности и как формула Бине восстанавливает каждый член из φ.
Последовательность Рекамана
Начните с 0. Каждый шаг прыгает на n назад, если это место положительно и ещё не занято, а иначе вперёд. Смотрите на полуокружности, пропущенные числа и мелодию из тех же прыжков.
Гипотеза Коллатца
Исследуйте задачу Коллатца 3n+1 в браузере. Проходите последовательности «градин», выращивайте геометрическое дерево Коллатца и приближайте непрерывный фрактал Коллатца.
Круги умножения
Соедините каждое число на круге с его кратным. Нарисуйте таблицу умножения, кардиоиду или фигуру из нити на бумаге, мелом или на дереве.
Спираль Улама
Постройте спираль Улама в браузере. Отметьте простые числа, прочитайте квадратичный многочлен каждой диагонали и откройте непрерывную серию из 40 простых чисел Эйлера.
Игла Бюффона
Бросайте иглы на разлинованный пол прямо в браузере. Считайте пересечения и смотрите, как опыт Бюффона 1777 года оценивает π.
Муравей Лэнгтона
Запустите муравья Лэнгтона в браузере. Посмотрите на симметрию, хаос и шоссе с циклом в 104 шага, а затем попробуйте многоцветные правила, нескольких муравьёв, шестиугольную сетку и турмитов.
Готовы попробовать?
Откройте PictorX в своем браузере — установка не требуется, для запуска не требуется кредитная карта.
Перейти в редактор