मुफ़्त उलम सर्पिल | अभाज्य संख्याओं का वितरण

यह कैसे काम करता है

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पूर्णांकों का सर्पिल

रास्ता 1 से शुरू होता है। यह एक कदम दाईं ओर जाता है, फिर बाईं ओर मुड़ता है, और हर सीधा हिस्सा पिछले से एक कदम लंबा होता है। पहला वर्ग वही जाना-पहचाना खंड है जिसमें ऊपर बाईं ओर 17 और नीचे दाईं ओर 25 है। अभाज्य संख्याएँ चिह्नित होती हैं। भाज्य संख्याएँ हल्की दिखाई जा सकती हैं या छिपाई जा सकती हैं, और यही वह चित्र है जो उलम ने 1963 में बनाया था।

विकर्ण सूत्र हैं

वर्ग का एक विकर्ण ठीक-ठीक किसी द्विघात 4n² + bn + c के मानों से बनता है। इनमें से कुछ सूत्रों के गुणनखंड हो जाते हैं और विकर्ण खाली रहता है। दूसरे, जैसे यूलर का सूत्र, उतने ही बड़े किसी यादृच्छिक अंक की तुलना में कहीं ज़्यादा बार अभाज्य होते हैं। किसी सेल पर क्लिक करें और रीडआउट सूत्र, उस रेखा पर सबसे लंबी अभाज्य शृंखला और 1 / ln n से उसकी तुलना दिखाता है।

चालीस अभाज्य, एक विकर्ण

n² + n + 41, n = 0 से 39 तक अभाज्य है। n = 40 पर मान 1,681 = 41² है। सर्पिल पर, जब बीच का सेल 41 हो, ये संख्याएँ विकर्ण 4n² − 2n + 41 बनाती हैं। शृंखला 1,523 से 41 होते हुए 1,601 तक जाती है, चालीस अभाज्य, और फिर टूट जाती है। हार्डी और लिटिलवुड का अनुमान कहता है कि यह बहुपद संयोग की तुलना में लगभग सात गुना अधिक बार अभाज्य होता है। यह साबित नहीं करता कि अभाज्य संख्याएँ हमेशा चलती रहेंगी।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

उलम सर्पिल क्या है?

धनात्मक पूर्णांकों का एक वर्गाकार सर्पिल, जिसे स्तानिस्वाफ़ उलम ने 1963 में बनाया। 1 से शुरू करें, एक कदम दाईं ओर जाएँ और वामावर्त मुड़ें। अभाज्य संख्याओं को चिह्नित करें तो वे विकर्ण, क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं पर जमा होती हैं।

अभाज्य संख्याएँ रेखाओं में क्यों आती हैं?

इनमें से हर रेखा एक द्विघात बहुपद 4n² + bn + c है। इनमें से कुछ सूत्र लगभग हमेशा किसी छोटी अभाज्य संख्या से विभाज्य होते हैं। दूसरे, जिनमें यूलर का सूत्र भी है, लगभग कभी नहीं।

यूलर की 40 अभाज्य संख्याओं की शृंखला क्या है?

n² + n + 41, n = 0 से 39 तक अभाज्य है और n = 40 पर 41² है। सर्पिल को 41 से शुरू करें तो ये मान एक विकर्ण 4n² − 2n + 41 बनाते हैं, 1,523 से 41 होते हुए 1,601 तक।

क्या सर्पिल अभाज्य संख्याओं का कोई सूत्र सिद्ध करता है?

नहीं। यह केवल अंतर को दृश्य बनाता है। हार्डी और लिटिलवुड का अनुमान F बताता है कि हर द्विघात कितना समृद्ध होना चाहिए। किसी भी द्विघात के बारे में यह सिद्ध नहीं हुआ है कि वह अनंत अभाज्य संख्याएँ देता है।

क्या सर्पिल मेरे डिवाइस से बाहर जाता है?

नहीं। छलनी, सर्पिल और चित्र सब आपके ब्राउज़र में ही गणना होते हैं। PNG सहेजें या कैनवास को PictorX संपादक में खोलें।