Gratis Ulams spiral | Primtalens fördelning

Hur det fungerar

Öppna den här sidan och titta på primtalen. De diagonala strecken är hela upptäckten.
Dra för att flytta och scrolla för att zooma, eller öppna favoriten 5×5-rutnät och läs varje tal.
Välj Eulers 40 eller klicka på en cell för att läsa dess polynom och spara sedan en PNG.

En spiral av heltal

Vägen börjar på 1. Den tar ett steg åt höger, svänger sedan vänster, och varje rak sträcka är ett steg längre än den förra. Den första kvadraten är det välkända blocket med 17 uppe till vänster och 25 nere till höger. Primtal markeras. Sammansatta tal kan visas svagt eller döljas, vilket är bilden Ulam ritade 1963.

Diagonaler är formler

En diagonal i kvadraten är exakt värdena av ett andragradspolynom 4n² + bn + c. Vissa av formlerna går att faktorisera, och då är diagonalen tom. Andra, som Eulers, ger primtal mycket oftare än ett slumptal av samma storlek. Klicka på en cell så visar avläsningen formeln, den längsta primtalsföljden på linjen och jämförelsen med 1 / ln n.

Fyrtio primtal, en diagonal

n² + n + 41 är ett primtal för n = 0 till 39. Vid n = 40 är värdet 1 681 = 41². På spiralen bildar de talen diagonalen 4n² − 2n + 41 när mittcellen är 41. Följden går från 1 523 via 41 till 1 601, fyrtio primtal, och bryts sedan. Hardys och Littlewoods förmodan förutsäger att polynomet ger primtal nästan sju gånger så ofta som slumpen. Den bevisar inte att primtalen fortsätter för evigt.

Ofta ställda frågor

Vad är Ulams spiral?

En kvadratisk spiral av de positiva heltalen, uttänkt av Stanisław Ulam 1963. Börja på 1, ta ett steg åt höger och vrid moturs. Markera primtalen så samlas de på diagonala, vågräta och lodräta linjer.

Varför hamnar primtalen på linjer?

Var och en av linjerna är ett andragradspolynom, 4n² + bn + c. Vissa av formlerna är nästan alltid delbara med ett litet primtal. Andra, däribland Eulers, är det nästan aldrig.

Vad är Eulers följd av 40 primtal?

n² + n + 41 är ett primtal för n = 0 till 39 och 41² vid n = 40. Börja spiralen på 41 så bildar värdena en diagonal, 4n² − 2n + 41, från 1 523 via 41 till 1 601.

Bevisar spiralen en formel för primtalen?

Nej. Den gör variationen synlig. Hardys och Littlewoods förmodan F förutsäger hur rikt varje andragradspolynom borde vara. Inget andragradspolynom har bevisats ge oändligt många primtal.

Lämnar spiralen min enhet?

Nej. Sållet, spiralen och bilden beräknas i webbläsaren. Spara en PNG eller öppna duken i PictorX-redigeraren.