Spirale d’Ulam gratuite | Répartition des nombres premiers

Comment ça marche

Ouvrez cette page et regardez les nombres premiers. Les traînées diagonales sont toute la découverte.
Faites glisser pour déplacer et défiler pour zoomer, ou ouvrez le favori Grille 5×5 et lisez chaque nombre.
Choisissez Les 40 d’Euler ou cliquez sur une case pour lire son polynôme, puis enregistrez un PNG.

Une spirale des entiers

Le chemin part de 1. Il fait un pas vers la droite, puis tourne à gauche, et chaque segment droit compte un pas de plus que le précédent. Le premier carré est le bloc familier avec 17 en haut à gauche et 25 en bas à droite. Les nombres premiers sont marqués. Les nombres composés peuvent être affichés en pâle ou masqués : c’est l’image qu’Ulam a dessinée en 1963.

Les diagonales sont des formules

Une diagonale du carré est exactement l’ensemble des valeurs d’un polynôme du second degré 4n² + bn + c. Certaines de ces formules se factorisent et la diagonale est vide. D’autres, comme celle d’Euler, sont premières bien plus souvent qu’un nombre aléatoire de même taille. Cliquez sur une case : l’affichage donne la formule, la plus longue suite de nombres premiers sur cette ligne et la comparaison avec 1 / ln n.

Quarante nombres premiers, une diagonale

n² + n + 41 est premier pour n = 0 à 39. Pour n = 40, la valeur est 1 681 = 41². Sur la spirale, ces nombres forment la diagonale 4n² − 2n + 41 dès que la case centrale vaut 41. La suite va de 1 523 à 1 601 en passant par 41, quarante nombres premiers, puis elle se rompt. La conjecture de Hardy et Littlewood prédit que ce polynôme est premier près de sept fois plus souvent que le hasard. Elle ne prouve pas que les nombres premiers continuent indéfiniment.

Questions fréquemment posées

Qu’est-ce que la spirale d’Ulam ?

Une spirale carrée des entiers positifs, imaginée par Stanisław Ulam en 1963. Partez de 1, faites un pas à droite et tournez dans le sens antihoraire. Marquez les nombres premiers : ils se regroupent sur des lignes diagonales, horizontales et verticales.

Pourquoi les nombres premiers s’alignent-ils ?

Chacune de ces lignes est un polynôme du second degré, 4n² + bn + c. Certaines de ces formules sont presque toujours divisibles par un petit nombre premier. D’autres, dont celle d’Euler, ne le sont presque jamais.

Qu’est-ce que la suite de 40 nombres premiers d’Euler ?

n² + n + 41 est premier pour n = 0 à 39 et vaut 41² pour n = 40. Faites commencer la spirale à 41 et ces valeurs forment une seule diagonale, 4n² − 2n + 41, de 1 523 à 1 601 en passant par 41.

La spirale prouve-t-elle une formule des nombres premiers ?

Non. Elle rend les écarts visibles. La conjecture F de Hardy et Littlewood prédit la richesse attendue de chaque polynôme du second degré. Aucun polynôme du second degré n’a été prouvé produire une infinité de nombres premiers.

La spirale quitte-t-elle mon appareil ?

Non. Le crible, la spirale et l’image sont calculés dans votre navigateur. Enregistrez un PNG ou ouvrez le canevas dans l’éditeur PictorX.

Outils associés

La spirale d’Ulam

Comment la spirale de Stanisław Ulam, en 1963, dispose les entiers sur une grille carrée, pourquoi les nombres premiers se regroupent sur des diagonales quadratiques et où se trouvent les quarante nombres premiers d’Euler quand la spirale commence à 41.