Бесплатная спираль Улама | Распределение простых чисел

Как это работает

Откройте эту страницу и посмотрите на простые числа. Диагональные полосы — это и есть всё открытие.
Перетаскивайте и прокручивайте для масштаба или откройте избранное «Сетка 5×5» и прочитайте каждое число.
Выберите «40 Эйлера» или нажмите на клетку, чтобы прочитать её многочлен, затем сохраните PNG.

Спираль натуральных чисел

Путь начинается с 1. Он делает шаг вправо, затем поворачивает налево, и каждый прямой участок на шаг длиннее предыдущего. Первый квадрат — знакомый блок с 17 в левом верхнем углу и 25 в правом нижнем. Простые числа отмечены. Составные можно показать бледно или скрыть — именно такую картинку Улам нарисовал в 1963 году.

Диагонали — это формулы

Диагональ квадрата — это ровно значения квадратичного многочлена 4n² + bn + c. Некоторые такие формулы раскладываются на множители, и диагональ пуста. Другие, как формула Эйлера, дают простые числа гораздо чаще, чем случайное число того же размера. Нажмите на клетку, и сводка покажет формулу, самую длинную серию простых на этой линии и сравнение с 1 / ln n.

Сорок простых, одна диагональ

n² + n + 41 — простое число при n от 0 до 39. При n = 40 значение равно 1681 = 41². На спирали эти числа образуют диагональ 4n² − 2n + 41, если центральная клетка равна 41. Серия идёт от 1523 через 41 до 1601 — сорок простых чисел, а затем обрывается. Гипотеза Харди и Литлвуда предсказывает, что этот многочлен даёт простые почти в семь раз чаще, чем случай. Она не доказывает, что простые числа продолжаются бесконечно.

Часто задаваемые вопросы

Что такое спираль Улама?

Квадратная спираль натуральных чисел, придуманная Станиславом Уламом в 1963 году. Начните с 1, шагните вправо и поворачивайте против часовой стрелки. Отметьте простые числа, и они соберутся на диагональных, горизонтальных и вертикальных линиях.

Почему простые числа выстраиваются в линии?

Каждая такая линия — квадратичный многочлен 4n² + bn + c. Некоторые из этих формул почти всегда делятся на малое простое число. Другие, включая формулу Эйлера, почти никогда.

Что такое серия из 40 простых чисел Эйлера?

n² + n + 41 — простое число при n от 0 до 39 и равно 41² при n = 40. Начните спираль с 41, и эти значения образуют одну диагональ, 4n² − 2n + 41, от 1523 через 41 до 1601.

Доказывает ли спираль формулу для простых чисел?

Нет. Она делает различия видимыми. Гипотеза F Харди и Литлвуда предсказывает, насколько богатым должен быть каждый квадратичный многочлен. Ни для одного квадратичного многочлена не доказано, что он даёт бесконечно много простых чисел.

Покидает ли спираль моё устройство?

Нет. Решето, спираль и изображение вычисляются в браузере. Сохраните PNG или откройте холст в редакторе PictorX.