关于乌拉姆螺旋 | 素数分布与欧拉多项式

1963 年的一幅涂鸦

斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆在 1963 年发现了这个螺旋，当时他正在一次学术会议上听一场被马丁·加德纳后来称为“又长又无聊”的报告。乌拉姆把正整数按螺旋写在方格上，并圈出素数。这些圆圈排成了直线。随后他与迈伦·斯坦和马克·韦尔斯一起，在洛斯阿拉莫斯的 MANIAC II 计算机上把图像扩展到约 100,000 个点。加德纳在 1964 年 3 月《科学美国人》的“数学游戏”专栏把这个螺旋登上了封面。这些直线并不能证明素数如何分布。它们是一种看见事实的方式，而这个事实数论早已以另一种形式知道：有些二次多项式产生素数的频率远高于其他多项式。

正方形如何填满

螺旋从中心的 1 开始。下一个数在右边一步，然后路径向左转，按逆时针方向前进，每段直线都比上一段多一步：一步、一步、两步、两步、三步、三步，依此类推。第一个完整的正方形逐行读出是：17 16 15 14 13，然后 18 5 4 3 12，然后 19 6 1 2 11，然后 20 7 8 9 10，然后 21 22 23 24 25。你也可以从 1 以外的数开始，同样会出现这类直线。从 41 开始就是那个著名的例子。

直线就是二次多项式

每条对角线，以及每条水平或竖直的射线，恰好都是某个二次式 f(n) = 4n² + bn + c 的取值集合。当 b 为偶数时，这条线是对角线，其值根据 c 的不同要么全是奇数，要么全是偶数。除 2 以外的素数都是奇数，所以素数隔一条对角线出现一次。其中有些二次式可以因式分解。4n² + 8n + 3 = (2n + 1)(2n + 3)，所以那条对角线上几乎没有素数。另一些则出人意料地经常给出素数。这种差别并不神秘，取决于多项式有多常被迫被某个小素数整除。哈代和李特尔伍德的猜想 F 是贝特曼-霍恩猜想的一个特例，它预测了沿 ax² + bx + c 的素数密度。这个密度取决于判别式 b² − 4ac。目前还没有任何二次式被证明能产生无穷多个素数。这是朗道问题之一，至今仍未解决。

欧拉的四十个素数

欧拉多项式 n² + n + 41 对 0 到 39 的每个 n 都是素数，共四十个素数。n = 40 时得到 1,681 = 41²，这一串就此中断。在螺旋上，这些值就是单个二次式 4n² − 2n + 41（即欧拉多项式在偶数处的取值），再加上反方向的 4n² + 2n + 41。当中心格是 41 而不是 1 时，它们就连成一条笔直的对角线。不间断的这一串是从 1,523（中心西南方十九步）经过 41 到 1,601（东北方二十步）的四十个值。接下来的格子 1,681 和 1,763 是合数，所以金色线断开。哈代和李特尔伍德对 4n² − 2n + 41 给出的常数约为 6.6：猜想认为这些值是素数的频率几乎是同样大小随机数的七倍。

这幅图有什么用

螺旋并不能判定素数定理，一条长对角线也不是证明。它是一张地图。富含素数和缺少素数的二次式一眼就能看出，这正是乌拉姆——以及在他之前、1932 年的劳伦斯·克劳伯——费心把它们画出来的原因。克劳伯用的是一个三角形，每一行从一个平方数排到下一个平方数。后来罗伯特·萨克斯把整数排在阿基米德螺线上，使每一圈恰好落一个平方数；在那里，欧拉多项式是一条曲线，而不是两条对角射线。在方形螺旋中，要看的是你手指下那条线的公式、它包含多少素数，以及与 1 / ln n（同样大小的随机数是素数的概率）相比如何。

在 PictorX 中探索

打开乌拉姆螺旋，就会看到经典的图像：101×101 的方阵，素数为金色，合数隐藏。拖动可移动，滚动可缩放。收藏预设“5×5 网格”会写出每个数字，方便你对照上方的方阵检查路径。“欧拉的 40 个素数”让螺旋从 41 开始，并画出 4n² − 2n + 41。“最富素数的线”在两个对角方向中搜索素数最多的那条线。点击任意格子，即可在读数中查看它所在的对角线，包括多项式、最长的连续素数，以及与同样大小随机数的比较。“模 4 余数”和“末位数字”会给素数重新着色。保存为 PNG，或在 PictorX 编辑器中打开画布。还可以搭配考拉兹猜想或兰顿蚂蚁，看看更多规则简单、图像惊人的例子。