Darmowa spirala Ulama | Rozkład liczb pierwszych

Jak to działa

Otwórz tę stronę i spójrz na liczby pierwsze. Ukośne smugi to całe odkrycie.
Przeciągnij, aby przesunąć, i przewiń, aby powiększyć, albo otwórz ulubiony Siatka 5×5 i odczytaj każdą liczbę.
Wybierz 40 Eulera albo kliknij komórkę, aby odczytać jej wielomian, a potem zapisz PNG.

Spirala liczb całkowitych

Ścieżka zaczyna się od 1. Robi krok w prawo, potem skręca w lewo, a każdy prosty odcinek jest o jeden krok dłuższy od poprzedniego. Pierwszy kwadrat to znany blok z 17 w lewym górnym rogu i 25 w prawym dolnym. Liczby pierwsze są zaznaczone. Liczby złożone można pokazać blado albo ukryć – to obraz, który Ulam narysował w 1963 roku.

Przekątne to wzory

Przekątna kwadratu to dokładnie wartości wielomianu kwadratowego 4n² + bn + c. Niektóre z tych wzorów się rozkładają i przekątna jest pusta. Inne, jak wzór Eulera, dają liczby pierwsze znacznie częściej niż losowa liczba tej samej wielkości. Kliknij komórkę, a odczyt poda wzór, najdłuższy ciąg liczb pierwszych na tej linii i porównanie z 1 / ln n.

Czterdzieści liczb pierwszych, jedna przekątna

n² + n + 41 jest liczbą pierwszą dla n od 0 do 39. Dla n = 40 wartość wynosi 1681 = 41². Na spirali te liczby tworzą przekątną 4n² − 2n + 41, gdy komórka środkowa to 41. Ciąg biegnie od 1523 przez 41 do 1601, czterdzieści liczb pierwszych, a potem się urywa. Hipoteza Hardy’ego i Littlewooda przewiduje, że ten wielomian daje liczby pierwsze niemal siedem razy częściej niż przypadek. Nie dowodzi, że liczby pierwsze ciągną się w nieskończoność.

Często zadawane pytania

Czym jest spirala Ulama?

Kwadratowa spirala dodatnich liczb całkowitych, wymyślona przez Stanisława Ulama w 1963 roku. Zacznij od 1, zrób krok w prawo i skręcaj przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Zaznacz liczby pierwsze, a ułożą się na liniach ukośnych, poziomych i pionowych.

Dlaczego liczby pierwsze układają się w linie?

Każda z tych linii to wielomian kwadratowy, 4n² + bn + c. Niektóre z tych wzorów niemal zawsze dzielą się przez małą liczbę pierwszą. Inne, w tym wzór Eulera, prawie nigdy.

Czym jest ciąg 40 liczb pierwszych Eulera?

n² + n + 41 jest liczbą pierwszą dla n od 0 do 39, a dla n = 40 równa się 41². Zacznij spiralę od 41, a te wartości utworzą jedną przekątną, 4n² − 2n + 41, od 1523 przez 41 do 1601.

Czy spirala dowodzi wzoru na liczby pierwsze?

Nie. Pokazuje zróżnicowanie. Hipoteza F Hardy’ego i Littlewooda przewiduje, jak bogaty powinien być każdy wielomian kwadratowy. Dla żadnego wielomianu kwadratowego nie udowodniono, że daje nieskończenie wiele liczb pierwszych.

Czy spirala opuszcza moje urządzenie?

Nie. Sito, spirala i obraz są obliczane w przeglądarce. Zapisz PNG albo otwórz płótno w edytorze PictorX.