Kostenlose Ulam-Spirale | Verteilung der Primzahlen

Wie es funktioniert

Öffnen Sie diese Seite und betrachten Sie die Primzahlen. Die diagonalen Streifen sind die ganze Entdeckung.
Ziehen Sie zum Verschieben und scrollen Sie zum Zoomen, oder öffnen Sie den Favoriten 5×5-Raster und lesen Sie jede Zahl.
Wählen Sie Eulers 40 oder klicken Sie auf eine Zelle, um ihr Polynom zu lesen, und speichern Sie dann ein PNG.

Eine Spirale der ganzen Zahlen

Der Weg beginnt bei 1. Er geht einen Schritt nach rechts, biegt dann nach links ab, und jede gerade Strecke ist einen Schritt länger als die vorige. Das erste Quadrat ist der bekannte Block mit 17 oben links und 25 unten rechts. Primzahlen werden markiert. Zusammengesetzte Zahlen lassen sich blass anzeigen oder ausblenden – das ist das Bild, das Ulam 1963 zeichnete.

Diagonalen sind Formeln

Eine Diagonale des Quadrats besteht genau aus den Werten eines quadratischen Polynoms 4n² + bn + c. Manche dieser Formeln lassen sich faktorisieren, und die Diagonale bleibt leer. Andere, etwa die von Euler, liefern weit häufiger Primzahlen als eine Zufallszahl derselben Größe. Klicken Sie auf eine Zelle, und die Anzeige nennt die Formel, die längste Primzahlfolge auf dieser Linie und den Vergleich mit 1 / ln n.

Vierzig Primzahlen, eine Diagonale

n² + n + 41 ist für n = 0 bis 39 eine Primzahl. Bei n = 40 ist der Wert 1.681 = 41². Auf der Spirale bilden diese Zahlen die Diagonale 4n² − 2n + 41, sobald die mittlere Zelle 41 ist. Die Folge reicht von 1.523 über 41 bis 1.601, vierzig Primzahlen, und bricht dann ab. Die Vermutung von Hardy und Littlewood sagt voraus, dass dieses Polynom fast siebenmal so oft eine Primzahl liefert wie der Zufall. Sie beweist nicht, dass die Primzahlen ewig weitergehen.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Ulam-Spirale?

Eine quadratische Spirale der positiven ganzen Zahlen, 1963 von Stanisław Ulam erdacht. Beginnen Sie bei 1, gehen Sie nach rechts und drehen Sie gegen den Uhrzeigersinn. Markieren Sie die Primzahlen, und sie sammeln sich auf diagonalen, waagerechten und senkrechten Linien.

Warum ordnen sich die Primzahlen in Linien an?

Jede dieser Linien ist ein quadratisches Polynom, 4n² + bn + c. Manche dieser Formeln sind fast immer durch eine kleine Primzahl teilbar. Andere, darunter die von Euler, fast nie.

Was ist Eulers Folge von 40 Primzahlen?

n² + n + 41 ist für n = 0 bis 39 eine Primzahl und bei n = 40 gleich 41². Beginnen Sie die Spirale bei 41, und diese Werte bilden eine Diagonale, 4n² − 2n + 41, von 1.523 über 41 bis 1.601.

Beweist die Spirale eine Formel für die Primzahlen?

Nein. Sie macht die Unterschiede sichtbar. Die Vermutung F von Hardy und Littlewood sagt voraus, wie reich jedes quadratische Polynom sein sollte. Für kein quadratisches Polynom ist bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen liefert.

Verlässt die Spirale mein Gerät?

Nein. Das Sieb, die Spirale und das Bild werden in Ihrem Browser berechnet. Speichern Sie ein PNG oder öffnen Sie die Leinwand im PictorX-Editor.