無料のウラムの螺旋 | 素数の分布

使い方

このページを開いて素数を見てください。斜めの筋こそが発見のすべてです。
ドラッグで移動、スクロールでズームするか、お気に入りの「5×5 グリッド」を開いてすべての数字を読みましょう。
「オイラーの40」を選ぶかマスをクリックして多項式を読み、PNGで保存します。

整数の螺旋

経路は1から始まります。右に一歩進み、左に曲がり、まっすぐな区間は前の区間より一歩ずつ長くなります。最初の正方形は、左上が17、右下が25のおなじみのブロックです。素数には印が付きます。合成数は薄く表示することも隠すこともでき、隠した状態が1963年にウラムが描いた絵です。

対角線は式である

正方形の対角線は、ちょうど二次式 4n² + bn + c の値の集まりです。因数分解できる式もあり、その対角線には素数がありません。オイラーの式のように、同じ大きさの無作為な数よりはるかに頻繁に素数になる式もあります。マスをクリックすると、式、その線上で最も長い素数の連続、そして 1 / ln n との比較が表示されます。

40個の素数、1本の対角線

n² + n + 41 は n = 0 から 39 まで素数です。n = 40 では値が 1,681 = 41² になります。中央のマスを41にすると、螺旋上でこれらの数は対角線 4n² − 2n + 41 になります。列は 1,523 から 41 を通って 1,601 まで続く40個の素数で、そこで途切れます。ハーディとリトルウッドの予想は、この多項式が偶然のほぼ7倍の頻度で素数になると予測します。素数が永遠に続くことを証明するものではありません。