Spirale di Ulam
La spirale di Ulam scrive gli interi positivi in un quadrato, partendo da 1 e girando in senso antiorario. Segna i primi e si raccolgono su linee diagonali. Ognuna di queste linee è un polinomio di secondo grado. Fai partire la spirale da 41 e una diagonale è la formula di Eulero, prima per quaranta passi di fila. Trascina per spostare, scorri per ingrandire e fai clic su una cella per leggere il polinomio di secondo grado della sua diagonale.
Come funziona
- Apri questa pagina e guarda i primi. Le strisce diagonali sono l’intera scoperta.
- Trascina per spostare e scorri per ingrandire, oppure apri il preferito Griglia 5×5 e leggi ogni numero.
- Scegli I 40 di Eulero o fai clic su una cella per leggerne il polinomio, poi salva un PNG.
Una spirale degli interi
Il percorso parte da 1. Fa un passo a destra, poi gira a sinistra, e ogni tratto rettilineo è più lungo di un passo rispetto al precedente. Il primo quadrato è il noto blocco con 17 in alto a sinistra e 25 in basso a destra. I primi sono segnati. I composti si possono mostrare sbiaditi o nascondere: è l’immagine che Ulam disegnò nel 1963.
Le diagonali sono formule
Una diagonale del quadrato è esattamente l’insieme dei valori di un polinomio di secondo grado 4n² + bn + c. Alcune di queste formule si fattorizzano e la diagonale è vuota. Altre, come quella di Eulero, sono prime molto più spesso di un numero casuale della stessa grandezza. Fai clic su una cella e il riquadro mostra la formula, la serie di primi più lunga su quella linea e il confronto con 1 / ln n.
Quaranta primi, una diagonale
n² + n + 41 è primo per n da 0 a 39. Per n = 40 il valore è 1.681 = 41². Sulla spirale quei numeri formano la diagonale 4n² − 2n + 41 quando la cella centrale è 41. La serie va da 1.523 a 1.601 passando per 41, quaranta primi, e poi si interrompe. La congettura di Hardy e Littlewood prevede che questo polinomio sia primo quasi sette volte più spesso del caso. Non dimostra che i primi continuino per sempre.
Domande frequenti
Che cos’è la spirale di Ulam?
Una spirale quadrata degli interi positivi, ideata da Stanisław Ulam nel 1963. Parti da 1, fai un passo a destra e gira in senso antiorario. Segna i primi e si raccolgono su linee diagonali, orizzontali e verticali.
Perché i primi si allineano?
Ognuna di quelle linee è un polinomio di secondo grado, 4n² + bn + c. Alcune di queste formule sono quasi sempre divisibili per un piccolo primo. Altre, tra cui quella di Eulero, non lo sono quasi mai.
Che cos’è la serie di 40 primi di Eulero?
n² + n + 41 è primo per n da 0 a 39 e vale 41² per n = 40. Fai partire la spirale da 41 e quei valori sono un’unica diagonale, 4n² − 2n + 41, da 1.523 a 1.601 passando per 41.
La spirale dimostra una formula per i primi?
No. Rende visibili le differenze. La congettura F di Hardy e Littlewood prevede quanto debba essere ricco ogni polinomio di secondo grado. Per nessun polinomio di secondo grado è stato dimostrato che produca infiniti primi.
La spirale lascia il mio dispositivo?
No. Il crivello, la spirale e l’immagine vengono calcolati nel browser. Salva un PNG o apri la tela nell’editor PictorX.
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