Gratis Ulams spiral | Primtallenes fordeling

Sådan virker det

Åbn denne side, og se på primtallene. De diagonale striber er hele opdagelsen.
Træk for at flytte og scroll for at zoome, eller åbn favoritten 5×5-gitter og læs hvert tal.
Vælg Eulers 40, eller klik på en celle for at læse dens polynomium, og gem derefter en PNG.

En spiral af heltal

Stien starter ved 1. Den tager et skridt til højre, drejer så til venstre, og hvert lige stykke er ét skridt længere end det forrige. Det første kvadrat er den velkendte blok med 17 øverst til venstre og 25 nederst til højre. Primtal markeres. Sammensatte tal kan vises svagt eller skjules, og det er billedet, Ulam tegnede i 1963.

Diagonaler er formler

En diagonal i kvadratet er præcis værdierne af et andengradspolynomium 4n² + bn + c. Nogle af de formler kan faktoriseres, og så er diagonalen tom. Andre, som Eulers, giver langt oftere primtal end et tilfældigt tal af samme størrelse. Klik på en celle, og visningen giver formlen, den længste primtalsrække på linjen og sammenligningen med 1 / ln n.

Fyrre primtal, én diagonal

n² + n + 41 er et primtal for n = 0 til 39. Ved n = 40 er værdien 1.681 = 41². På spiralen danner de tal diagonalen 4n² − 2n + 41, når den midterste celle er 41. Rækken går fra 1.523 over 41 til 1.601, fyrre primtal, og så brydes den. Hardy og Littlewoods formodning forudsiger, at dette polynomium giver primtal næsten syv gange så ofte som tilfældet. Den beviser ikke, at primtallene fortsætter for evigt.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er Ulams spiral?

En kvadratisk spiral af de positive heltal, udtænkt af Stanisław Ulam i 1963. Start ved 1, tag et skridt til højre, og drej mod uret. Markér primtallene, og de samler sig på diagonale, vandrette og lodrette linjer.

Hvorfor ligger primtallene på linjer?

Hver af de linjer er et andengradspolynomium, 4n² + bn + c. Nogle af formlerne er næsten altid delelige med et lille primtal. Andre, herunder Eulers, er det næsten aldrig.

Hvad er Eulers række af 40 primtal?

n² + n + 41 er et primtal for n = 0 til 39 og 41² ved n = 40. Start spiralen ved 41, og de værdier udgør én diagonal, 4n² − 2n + 41, fra 1.523 over 41 til 1.601.

Beviser spiralen en formel for primtallene?

Nej. Den gør variationen synlig. Hardy og Littlewoods formodning F forudsiger, hvor rig hvert andengradspolynomium bør være. Det er ikke bevist for noget andengradspolynomium, at det giver uendeligt mange primtal.

Forlader spiralen min enhed?

Nej. Sien, spiralen og billedet beregnes i din browser. Gem en PNG, eller åbn lærredet i PictorX-editoren.