Espiral de Ulam
A espiral de Ulam escreve os inteiros positivos num quadrado, começando em 1 e rodando no sentido anti-horário. Marque os primos e eles juntam-se em linhas diagonais. Cada uma dessas linhas é um polinómio quadrático. Comece a espiral em 41 e uma diagonal é a fórmula de Euler, prima durante quarenta passos seguidos. Arraste para mover, role para ampliar e clique numa célula para ler o polinómio quadrático da sua diagonal.
Como funciona
- Abra esta página e olhe para os primos. As riscas diagonais são toda a descoberta.
- Arraste para mover e role para ampliar, ou abra o favorito Grelha 5×5 e leia cada número.
- Escolha Os 40 de Euler ou clique numa célula para ler o seu polinómio e depois guarde um PNG.
Uma espiral dos inteiros
O caminho começa em 1. Dá um passo para a direita, depois vira à esquerda, e cada troço reto tem mais um passo do que o anterior. O primeiro quadrado é o bloco conhecido com 17 no canto superior esquerdo e 25 no inferior direito. Os primos são marcados. Os compostos podem ser mostrados de forma ténue ou ocultados, que é a imagem que Ulam desenhou em 1963.
As diagonais são fórmulas
Uma diagonal do quadrado é exatamente o conjunto de valores de um polinómio quadrático 4n² + bn + c. Algumas dessas fórmulas fatorizam-se e a diagonal fica vazia. Outras, como a de Euler, são primas muito mais vezes do que um número aleatório do mesmo tamanho. Clique numa célula e o painel mostra a fórmula, a sequência de primos mais longa dessa linha e a comparação com 1 / ln n.
Quarenta primos, uma diagonal
n² + n + 41 é primo para n = 0 a 39. Para n = 40 o valor é 1681 = 41². Na espiral, esses números formam a diagonal 4n² − 2n + 41 quando a célula central é 41. A sequência vai de 1523 a 1601 passando por 41, quarenta primos, e depois quebra-se. A conjetura de Hardy e Littlewood prevê que este polinómio é primo quase sete vezes mais vezes do que o acaso. Não prova que os primos continuem para sempre.
Perguntas frequentes
O que é a espiral de Ulam?
Uma espiral quadrada dos inteiros positivos, criada por Stanisław Ulam em 1963. Comece em 1, dê um passo para a direita e rode no sentido anti-horário. Marque os primos e eles juntam-se em linhas diagonais, horizontais e verticais.
Porque é que os primos se alinham?
Cada uma dessas linhas é um polinómio quadrático, 4n² + bn + c. Algumas dessas fórmulas são divisíveis por um primo pequeno quase sempre. Outras, incluindo a de Euler, quase nunca o são.
O que é a sequência de 40 primos de Euler?
n² + n + 41 é primo para n = 0 a 39 e vale 41² para n = 40. Comece a espiral em 41 e esses valores formam uma diagonal, 4n² − 2n + 41, de 1523 a 1601 passando por 41.
A espiral prova uma fórmula para os primos?
Não. Torna a variação visível. A conjetura F de Hardy e Littlewood prevê quão rico deve ser cada polinómio quadrático. Não se provou que algum polinómio quadrático produza infinitos primos.
A espiral sai do meu dispositivo?
Não. O crivo, a espiral e a imagem são calculados no seu navegador. Guarde um PNG ou abra a tela no editor PictorX.
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A espiral de Ulam
Como a espiral de Stanisław Ulam de 1963 dispõe os inteiros numa grelha quadrada, porque é que os primos se juntam em diagonais quadráticas e onde ficam os quarenta primos de Euler quando a espiral começa em 41.
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