Gratis Ulam-spiraal | Verdeling van priemgetallen

Hoe het werkt

Open deze pagina en kijk naar de priemgetallen. De diagonale strepen zijn de hele ontdekking.
Sleep om te verschuiven en scrol om te zoomen, of open de favoriet 5×5-raster en lees elk getal.
Kies Eulers 40 of klik op een cel om haar veelterm te lezen en sla daarna een PNG op.

Een spiraal van gehele getallen

Het pad begint bij 1. Het gaat een stap naar rechts, slaat dan linksaf, en elk recht stuk is één stap langer dan het vorige. Het eerste vierkant is het bekende blok met 17 linksboven en 25 rechtsonder. Priemgetallen worden gemarkeerd. Samengestelde getallen kun je vaag tonen of verbergen; dat is het beeld dat Ulam in 1963 tekende.

Diagonalen zijn formules

Een diagonaal van het vierkant bestaat precies uit de waarden van een kwadratische veelterm 4n² + bn + c. Sommige van die formules zijn te ontbinden en dan is de diagonaal leeg. Andere, zoals die van Euler, zijn veel vaker priem dan een willekeurig getal van dezelfde grootte. Klik op een cel en de uitlezing geeft de formule, de langste priemreeks op die lijn en de vergelijking met 1 / ln n.

Veertig priemgetallen, één diagonaal

n² + n + 41 is priem voor n = 0 tot en met 39. Bij n = 40 is de waarde 1.681 = 41². Op de spiraal vormen die getallen de diagonaal 4n² − 2n + 41 zodra de middelste cel 41 is. De reeks loopt van 1.523 via 41 tot 1.601, veertig priemgetallen, en breekt dan af. Het vermoeden van Hardy en Littlewood voorspelt dat deze veelterm bijna zeven keer zo vaak priem is als toeval. Het bewijst niet dat de priemgetallen eeuwig doorgaan.

Veelgestelde vragen

Wat is de Ulam-spiraal?

Een vierkante spiraal van de positieve gehele getallen, in 1963 bedacht door Stanisław Ulam. Begin bij 1, zet een stap naar rechts en draai tegen de klok in. Markeer de priemgetallen en ze verzamelen zich op diagonale, horizontale en verticale lijnen.

Waarom liggen de priemgetallen op lijnen?

Elk van die lijnen is een kwadratische veelterm, 4n² + bn + c. Sommige van die formules zijn bijna altijd deelbaar door een klein priemgetal. Andere, waaronder die van Euler, bijna nooit.

Wat is Eulers reeks van 40 priemgetallen?

n² + n + 41 is priem voor n = 0 tot en met 39 en 41² bij n = 40. Laat de spiraal bij 41 beginnen en die waarden vormen één diagonaal, 4n² − 2n + 41, van 1.523 via 41 tot 1.601.

Bewijst de spiraal een formule voor de priemgetallen?

Nee. Ze maakt de verschillen zichtbaar. Vermoeden F van Hardy en Littlewood voorspelt hoe rijk elke kwadratische veelterm zou moeten zijn. Van geen enkele kwadratische veelterm is bewezen dat hij oneindig veel priemgetallen oplevert.

Verlaat de spiraal mijn apparaat?

Nee. De zeef, de spiraal en het beeld worden in je browser berekend. Sla een PNG op of open het canvas in de PictorX-editor.