掷骰子
掷一次骰子，1 到 6 都可能出现。掷一千次，规律就出现了：每个点数大约各占 1/6。掷两颗骰子时，各个点数和的可能性一点也不相同：7 出现的次数是 2 或 12 的六倍。掷骰子，看柱子朝预期频数长高。 点击“掷骰”，骰子会一次又一次地掷出，柱子随之长高。虚线框表示每个点数或点数和应该出现多少次。掷两颗骰子时，7 是最常见的点数和：36 种落地方式中有 6 种得到 7。点击骰子可以只掷一次。
它是如何运作的
- 选择一颗、两颗或三颗骰子，然后点击“掷骰”。骰子翻滚，每种结果的柱子随之长高。
- 把每根柱子和它的虚线框对比：虚线框是公平骰子的预期次数。
- 试试灌铅骰子、用五颗骰子得到钟形曲线，或者掷 10,000 次，再看看卡方检验的结果。
一颗骰子：平坦的图表
公平的骰子有六个面，每个面出现的概率都是 1/6。掷 60 次，预计每个面出现 10 次，但你很少会看到正好 10 次：6 次或 14 次都很正常。掷 1,000 次，每个面预计出现约 167 次，按比例看，柱子就平整多了。差异的绝对值会变大，但占总次数的比例会变小：这就是大数定律。
两颗骰子：为什么 7 胜出
两颗骰子落地共有 6 × 6 = 36 种等可能的方式。其中只有一种得到 2（1 + 1），一种得到 12（6 + 6），却有六种得到 7：1 + 6、2 + 5、3 + 4、4 + 3、5 + 2 和 6 + 1。所以 7 的概率是 6/36 = 1/6，而 2 只有 1/36。柱子下方的分数数的就是这些方式，图表也变成了三角形。
三颗及更多骰子：钟形曲线
三颗骰子共有 216 种落地方式，点数和 10 和 11 最有可能，各有 27 种方式。再加骰子，图表就变成钟形曲线：中心极限定理指出，许多独立随机数之和近似服从正态分布。
骰子公平吗？卡方检验
柱子离虚线框多远，你才该怀疑骰子？卡方检验把所有柱子的（观测 − 预期）² / 预期加起来。如果骰子是公平的，出现至少和测得值一样大的数值的概率就是 p。p 小于 0.05 是一个警示。选择灌铅骰子，它的六点出现的次数是其他每个面的两倍，掷几百次后检验就能把它揪出来。
常见问题
两颗骰子最常见的点数和是多少？
7。36 种等可能的落地方式中有 6 种加起来是 7，所以它的概率是 1/6。点数和 2 和 12 各自只有一种方式：1/36。
掷一颗骰子 600 次，每个数都会出现 100 次吗？
平均来说是，但很少恰好 100 次。上下相差 9 次左右是正常的。掷得越多，每个面所占的比例就越接近 1/6。
为什么骰子多时图表看起来像一口钟？
因为中心极限定理：许多独立随机数之和接近正态分布。中间的点数和可以由多得多的方式组成，远多于两端的点数和。
怎样判断一颗骰子是否灌了铅？
把它掷很多次，再把各面的次数与各自 1/6 的预期比较。应用中的卡方检验会把这些差异换算成 p 值；掷了很多次后 p 值仍低于 0.05，就说明这颗骰子不太可能是公平的。
这会上传什么吗？
不会。所有计算和绘制都在你浏览器里的画布上完成。保存会下载 PNG。编辑会在 PictorX 编辑器中打开那张图。
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