免费高尔顿板 | 看钟形曲线逐渐成形

它是如何运作的

有 12 行时，一个球会碰到 12 颗钉子，在每一颗上都向左或向右。它落进哪个槽，只取决于它向右走了几次：从最左边的 0 到最右边的 12。六次向右、六次向左，不论顺序如何，都落在正中间。

通往最左边那个槽的路径只有一条：每次都向左。通往中间那个槽的路径有 924 条，因为 6 次向右可以用 924 种方式分布在 12 次弹跳里。这些数就是杨辉三角，它们让各个槽呈现钟的形状。

弹跳公平时，平均落到的槽是行数的一半：12 行时为 6。离散程度，也就是标准差，等于 √(n·p·(1−p))，12 行时约为 1.73。把偏向设为 70%，钟形就向右滑动，到 8.4。

什么是高尔顿板？

一块装有一排排钉子、底部有槽的板。弗朗西斯·高尔顿在 1870 年代造了一块，用来展示偶然如何形成钟形曲线。它也叫豆机（bean machine）或 quincunx（梅花形）。

为什么会是钟形曲线？

每个槽收集的是向右弹跳次数为某个特定值的路径。向右和向左次数差不多的路径远比其他路径多，所以中间的槽装得最多。行数很多时，二项分布看起来就和正态曲线一模一样。

偏向有什么作用？

它设定球在每颗钉子上向右弹的概率。设为 50% 时，钟形位于正中。设为 70% 时，每次弹跳都倒向右边，钟形随之右移，但形状不变。

为什么各个槽与曲线不完全吻合？

每个球都走一条新的随机路径。球少时，各个槽散布在曲线周围。你投下的球越多，它们就越贴近曲线。

这会上传什么吗？

不会。高尔顿板画在你浏览器里的画布上。保存会下载 PNG。编辑会在 PictorX 编辑器中打开那张图。

高尔顿板如何运作：随机弹跳、杨辉三角、二项分布，以及正态分布的钟形曲线如何从纯粹的偶然中出现。

在浏览器中把针投到画有平行线的地板上。数一数相交次数，看布丰 1777 年的实验如何估算 π。

让球沿直线斜坡、圆弧、抛物线和摆线从 A 滑到 B，比比谁快。摆线总是获胜，即使它沉到终点以下。还能画出你自己的轨道。

在浏览器中探索 Collatz 3n+1 问题。追踪冰雹序列,生长几何 Collatz 树,并缩放连续的 Collatz 分形。

把圆上的每个数连到它的倍数。在纸上、用粉笔或在木板上画出乘法表、心形线或绕线图形。

在浏览器中绘制乌拉姆螺旋。标出素数，读出每条对角线上的二次多项式，并打开欧拉连续 40 个素数的序列。

在浏览器中打开 PictorX — 无需安装，无需信用卡即可启动。