Rzucanie kośćmi
Rzuć kością raz, a może wypaść wszystko od 1 do 6. Rzuć tysiąc razy, a pojawi się wzór: każda ścianka wypada mniej więcej w 1/6 rzutów. Przy dwóch kościach sumy wcale nie są jednakowo prawdopodobne: 7 wypada sześć razy częściej niż 2 czy 12. Rzucaj kośćmi i patrz, jak słupki rosną w stronę oczekiwanych częstości. Naciśnij Rzucaj, aby rzucać kośćmi raz za razem, i patrz, jak rosną słupki. Przerywane obrysy pokazują, jak często powinna wypadać każda liczba oczek lub suma. Przy dwóch kościach najczęstszą sumą jest 7: sześć z 36 możliwych układów daje 7. Kliknij kości, aby rzucić raz.
Jak to działa
- Wybierz jedną, dwie lub trzy kości i naciśnij Rzucaj. Kości się toczą, a słupek każdego wyniku rośnie.
- Porównaj każdy słupek z jego przerywanym obrysem: oczekiwaną liczbą rzutów dla uczciwych kości.
- Wypróbuj obciążoną kość, pięć kości dla krzywej dzwonowej albo 10 000 rzutów i odczytaj wynik testu chi-kwadrat.
Jedna kość: płaski wykres
Uczciwa kość ma sześć ścianek, a każda wypada z prawdopodobieństwem 1/6. Po 60 rzutach oczekujesz każdej ścianki 10 razy, ale rzadko zobaczysz dokładnie 10: wyniki 6 czy 14 są zupełnie normalne. Po 1000 rzutów każdej ścianki oczekuje się około 167 razy, a proporcjonalnie słupki wyglądają dużo równiej. Różnice rosną w liczbach bezwzględnych, ale maleją jako udział w rzutach: to prawo wielkich liczb.
Dwie kości: dlaczego wygrywa 7
Dwie kości mogą upaść na 6 × 6 = 36 jednakowo prawdopodobnych sposobów. Tylko jeden z nich daje 2 (1 + 1) i jeden daje 12 (6 + 6), ale aż sześć daje 7: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 i 6 + 1. Zatem 7 ma prawdopodobieństwo 6/36 = 1/6, a 2 tylko 1/36. Ułamki pod słupkami liczą te sposoby, a wykres zmienia się w trójkąt.
Trzy kości lub więcej: krzywa dzwonowa
Przy trzech kościach jest 216 możliwych układów, a najbardziej prawdopodobne są sumy 10 i 11, każda na 27 sposobów. Dodaj więcej kości, a wykres zmieni się w krzywą dzwonową: centralne twierdzenie graniczne mówi, że suma wielu niezależnych liczb losowych ma w przybliżeniu rozkład normalny.
Czy kość jest uczciwa? Test chi-kwadrat
Jak daleko słupki mogą odbiegać od obrysów, zanim kości staną się podejrzane? Test chi-kwadrat sumuje (obserwowane − oczekiwane)² / oczekiwane po wszystkich słupkach. Jeśli kości są uczciwe, wartość co najmniej tak duża jak zmierzona pojawia się z prawdopodobieństwem p. Wartość p poniżej 0,05 to sygnał ostrzegawczy. Wybierz obciążoną kość, na której szóstka wypada dwa razy częściej niż każda inna ścianka, a po kilkuset rzutach test ją przyłapie.
Często zadawane pytania
Jaka suma wypada najczęściej przy dwóch kościach?
7. Sześć z 36 jednakowo prawdopodobnych układów daje w sumie 7, więc prawdopodobieństwo wynosi 1/6. Sumy 2 i 12 można uzyskać tylko na jeden sposób każdą: 1/36.
Jeśli rzucę kością 600 razy, czy każda liczba wypadnie 100 razy?
Średnio tak, ale rzadko dokładnie. Rozrzut około 9 w górę lub w dół od 100 jest normalny. Udział każdej ścianki zbliża się do 1/6 tym bardziej, im więcej rzucasz.
Dlaczego wykres dla wielu kości wygląda jak dzwon?
Z powodu centralnego twierdzenia granicznego: suma wielu niezależnych liczb losowych ma rozkład bliski normalnemu. Środkowe sumy można uzyskać na znacznie więcej sposobów niż skrajne.
Jak sprawdzić, czy kość jest obciążona?
Rzuć nią wiele razy i porównaj liczby wyników z 1/6 dla każdej ścianki. Test chi-kwadrat w aplikacji zamienia różnice na wartość p; wartość p poniżej 0,05 po wielu rzutach oznacza, że kość raczej nie jest uczciwa.
Czy coś jest wysyłane?
Nie. Wszystko jest obliczane i rysowane na płótnie w przeglądarce. Przycisk Zapisz pobiera PNG. Edytuj otwiera ten obraz w edytorze PictorX.
Powiązane narzędzia
Prawdopodobieństwo w rzutach kośćmi
Prawdopodobieństwo w rzutach kośćmi wyjaśnione: dlaczego każda ścianka ma szansę 1/6, jak policzyć sposoby wyrzucenia danej sumy, częstości oczekiwane i obserwowane, krzywa dzwonowa wielu kości oraz test chi-kwadrat dla uczciwej kości.
Kulki z wazonu
Losuj kulki z wazonu bez patrzenia i bez odkładania ich z powrotem. Śledź każde losowanie na drzewie stochastycznym: 5/9 × 4/8 = 5/18 dla dwóch czerwonych kulek. Potem pozwól komputerowi rozegrać 1000 rund.
Deska Galtona
Puść kule przez rzędy kołków i patrz, jak krzywa dzwonowa wypełnia przegródki. Zmień liczbę rzędów, przechył i liczbę kul, a potem porównaj średnią i rozrzut z teorią.
Błąd hazardzisty
Rzucaj uczciwą monetą 100 razy na sekundę i zobacz, co wypada po każdej serii 5 lub 8 orłów z rzędu. Wciąż jest 50/50: moneta nie ma pamięci.
π metodą Monte Carlo
Rzucaj tysiące losowych rzutek w kwadrat z wpisanym kołem i patrz, jak część, która trafia do środka, zamienia się w π. Uruchamiaj, zatrzymuj i śledź, jak oszacowanie zbiega.
Paradoks Monty’ego Halla
Paradoks Monty’ego Halla do sprawdzenia: wybierz jedne z trojga drzwi, patrz, jak Monty otwiera inne z kozą, a potem zostań albo zmień. Graj samodzielnie albo pozwól komputerowi rozegrać 1000 gier i zobacz, że zmiana wygrywa w dwóch przypadkach na trzy.
Yahtzee
Graj za darmo w Yahtzee w przeglądarce. Rzucaj pięcioma kośćmi do trzech razy, zatrzymuj wybrane i wypełnij 13 pól. Solo, do 4 graczy lub z komputerem.
Chcesz wypróbować?
Otwórz PictorX w swojej przeglądarce — do uruchomienia nie jest wymagana żadna instalacja ani karta kredytowa.
Przejdź do edytora