Броски кубиков
Бросьте кубик один раз — и может выпасть что угодно от 1 до 6. Бросьте его тысячу раз — и появится закономерность: каждая грань выпадает примерно в 1/6 случаев. С двумя кубиками суммы совсем не равновероятны: 7 выпадает в шесть раз чаще, чем 2 или 12. Бросайте кубики и смотрите, как столбцы растут к ожидаемым частотам. Нажмите «Бросать», и кубики будут падать снова и снова, а столбцы — расти. Пунктирные контуры показывают, как часто должно выпадать каждое число очков или каждая сумма. С двумя кубиками чаще всего выпадает сумма 7: её дают шесть из 36 вариантов. Нажмите на кубики, чтобы бросить один раз.
Как это работает
- Выберите один, два или три кубика и нажмите «Бросать». Кубики кувыркаются, а столбец каждого результата растёт.
- Сравните каждый столбец с его пунктирным контуром — ожидаемым числом бросков для честных кубиков.
- Попробуйте утяжелённый кубик, пять кубиков для колоколообразной кривой или 10 000 бросков и посмотрите на критерий хи-квадрат.
Один кубик: плоская диаграмма
У честного кубика шесть граней, и каждая выпадает с вероятностью 1/6. После 60 бросков каждая грань ожидается 10 раз, но ровно 10 вы увидите редко: 6 или 14 — совершенно нормально. После 1000 бросков каждая грань ожидается примерно 167 раз, и в пропорции столбцы выглядят гораздо ровнее. Отклонения растут в абсолютных числах, но уменьшаются как доля бросков: это закон больших чисел.
Два кубика: почему побеждает 7
Два кубика могут упасть 6 × 6 = 36 равновероятными способами. Лишь один из них даёт 2 (1 + 1) и один — 12 (6 + 6), а вот 7 дают шесть: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 и 6 + 1. Поэтому вероятность 7 равна 6/36 = 1/6, а 2 — всего 1/36. Дроби под столбцами считают эти способы, и диаграмма превращается в треугольник.
Три кубика и больше: колоколообразная кривая
С тремя кубиками есть 216 вариантов, и самые вероятные суммы — 10 и 11, по 27 вариантов каждая. Добавьте кубиков, и диаграмма превратится в колоколообразную кривую: центральная предельная теорема гласит, что сумма многих независимых случайных чисел распределена приблизительно нормально.
Честный ли кубик? Критерий хи-квадрат
Насколько столбцы могут отличаться от контуров, прежде чем кубики станут подозрительными? Критерий хи-квадрат суммирует (наблюдаемое − ожидаемое)² / ожидаемое по всем столбцам. Если кубики честные, значение не меньше измеренного появляется с вероятностью p. Значение p ниже 0,05 — тревожный знак. Выберите утяжелённый кубик, у которого шестёрка выпадает вдвое чаще любой другой грани, и через несколько сотен бросков критерий его разоблачит.
Часто задаваемые вопросы
Какая сумма чаще всего выпадает на двух кубиках?
7. Шесть из 36 равновероятных вариантов дают в сумме 7, поэтому её вероятность — 1/6. Суммы 2 и 12 можно получить лишь одним способом каждую: 1/36.
Если бросить кубик 600 раз, выпадет ли каждое число 100 раз?
В среднем да, но ровно 100 — редко. Разброс около 9 в обе стороны от 100 — это нормально. Чем больше бросаете, тем ближе доля каждой грани к 1/6.
Почему диаграмма для многих кубиков похожа на колокол?
Из-за центральной предельной теоремы: сумма многих независимых случайных чисел близка к нормальному распределению. Средние суммы получаются гораздо большим числом способов, чем крайние.
Как понять, что кубик утяжелён?
Бросьте его много раз и сравните число выпадений с 1/6 для каждой грани. Критерий хи-квадрат в приложении превращает отклонения в p-значение; p-значение ниже 0,05 после многих бросков означает, что кубик вряд ли честный.
Что-нибудь загружается?
Нет. Всё вычисляется и рисуется на холсте в браузере. Кнопка «Сохранить» скачивает PNG. Кнопка «Редактировать» открывает это изображение в редакторе PictorX.
Сопутствующие инструменты
Вероятности при бросании кубиков
Вероятности при бросании кубиков: почему у каждой грани шанс 1/6, как сосчитать способы выбросить сумму, ожидаемые и наблюдаемые частоты, колоколообразная кривая для многих кубиков и критерий хи-квадрат для проверки честности кубика.
Шарики из вазы
Вынимайте шарики из вазы не глядя и не возвращая их обратно. Следите за каждым извлечением на дереве вероятностей: 5/9 × 4/8 = 5/18 для двух красных шариков. А потом пусть компьютер проведёт 1000 раундов.
Доска Гальтона
Бросайте шары сквозь ряды штырьков и смотрите, как ячейки заполняются по колоколообразной кривой. Меняйте число рядов, смещение и число шаров и сравнивайте среднее и разброс с теорией.
Ошибка игрока
Подбрасывайте честную монету 100 раз в секунду и смотрите, что выпадает после каждой серии из 5 или 8 орлов подряд. По-прежнему 50/50: у монеты нет памяти.
π методом Монте-Карло
Бросайте тысячи случайных дротиков в квадрат с вписанным кругом и смотрите, как доля попавших внутрь превращается в π. Запускайте, останавливайте и следите, как сходится оценка.
Парадокс Монти Холла
Парадокс Монти Холла на практике: выберите одну из трёх дверей, посмотрите, как Монти открывает другую, с козой, и решите, остаться или сменить. Играйте сами или дайте компьютеру сыграть 1000 игр и убедитесь, что смена выигрывает в двух случаях из трёх.
Yahtzee
Играйте в Yahtzee бесплатно в браузере. Бросайте пять кубиков до трёх раз, оставляйте нужные и заполните 13 клеток. Одному, до 4 игроков или против компьютера.
Готовы попробовать?
Откройте PictorX в своем браузере — установка не требуется, для запуска не требуется кредитная карта.
Перейти в редактор