蒙特卡洛求 π
纯粹的随机能算出一个精确的数吗？在正方形里画一个圆，然后随机向它投飞镖。圆占正方形面积的 π/4，所以大约 π/4 的飞镖会落在圆内。把这个比例乘以四，就得到 π 的估计值。飞镖越多，结果越接近：3，然后 3.1，然后 3.14，然后 3.141… 按“开始”，飞镖会随机落在正方形里。落在圆内的比例是 π/4，所以 π ≈ 4 × 圆内 ÷ 飞镖数。飞镖越多，估计越准：飞镖数增加到一百倍，大约能多得一位正确数字。点击正方形可以手动投一支飞镖。
它是如何运作的
- 按“开始”。飞镖随机落在正方形里：圆内为蓝色，圆外为红色。
- 观察计数器：π ≈ 4 × 圆内 ÷ 飞镖数。已经与 π 相符的数字会以彩色显示。
- 调高速度，或一次投出一百万支飞镖，看估计值如何稳定在图表上越来越窄的带状区域内。
飞镖为什么能找到 π
正方形的边长为 2，里面的圆半径为 1。正方形的面积是 4，圆的面积是 π × 1² = π。一支飞镖如果落在正方形内任何位置的可能性都相同，那么它落在圆内的概率就是 π/4，约为 78.5%。数一数飞镖总数和命中数，4 × 命中数 ÷ 飞镖数就是 π 的估计值。四分之一圆也是同样的道理：在边长为 1 的正方形中，半径为 1 的四分之一圆同样占它面积的 π/4。
大数定律
一支飞镖什么也说明不了：结果不是 4 就是 0。一百支飞镖得到的大概是 3.0 或 3.3 这样的值。一万支飞镖的结果通常只与 π 相差零点零几。大数定律告诉我们，随着飞镖数增加，命中比例会越来越接近 π/4，因此估计值收敛于 π。
为什么收敛得很慢
投 N 支飞镖后的典型误差约为 1.64/√N。要把误差减半，需要四倍的飞镖；要多一位正确数字，则需要一百倍的飞镖。图表中的阴影带包含所有模拟的 95%，并按 1/√N 的规律变窄。一百万支飞镖留下的误差约为 0.0016：小数点后三到四位正确。
蒙特卡洛方法
这种方法以摩纳哥的赌场命名。20 世纪 40 年代，斯坦尼斯拉夫·乌拉姆和约翰·冯·诺依曼用随机抽样追踪中子穿过物质的过程，这个问题复杂到无法用公式解决。如今，蒙特卡洛模拟被用来为金融期权定价、渲染动画电影中的光线、预报天气以及测试药物。向圆投飞镖是这一思想最简单的例子：用大量随机实验代替一次困难的计算。
常见问题
随机飞镖怎么能算出 π？
圆占它外面正方形面积的 π/4。当飞镖均匀随机地落下时，大约 π/4 的飞镖会命中圆，所以命中比例的四倍就是 π 的估计值。
要得到 3.14 需要多少支飞镖？
通常需要几万支。误差按 1.64/√N 缩小：1 万支飞镖的误差通常约为 0.016，100 万支飞镖约为 0.0016。每多一位正确数字，就要多投一百倍的飞镖。
这和布丰投针一样吗？
两者都用随机来估算 π。布丰投针是把针投到平行线上并数相交次数；蒙特卡洛方法则是向圆投点。飞镖更容易理解，收敛也更快：投掷次数相同时，误差约为布丰半长针实验的三分之一。
飞镖真的是随机的吗？
它们来自浏览器的伪随机数生成器，对这个实验来说绰绰有余。每次模拟都不一样，所以估计值在稳定下来之前会来回游走。
会上传任何内容吗？
不会。所有计算和绘制都在浏览器中的画布上完成。“保存”会下载一张 PNG。“编辑”会在 PictorX 编辑器中打开这张图片。
相关工具
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布丰投针
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