从花瓶中摸弹珠

它是如何运作的

点击花瓶：一颗弹珠被摸出来，落进第一个小碟，树状图点亮对应的分支。
再点击一次摸出第二颗，看看当时每种颜色还剩几颗，以及那时摸到红色的概率是多少。
按“自动摸球”摸 1,000 轮，看“是”的比例逐渐稳定在 5/18 ≈ 27.8%。

不放回摸球

每拿出一颗弹珠，它就不再回到花瓶里。花瓶里的弹珠越来越少，组成也随之改变，所以第二颗的概率取决于第一颗。第一颗是红色后，剩下的 8 颗中有 4 颗是红色：4/8。第一颗是蓝色后，8 颗中有 5 颗是红色：5/8。两次摸球不是相互独立的，树状图每条分支上的概率都是条件概率：在已经摸出的颜色的条件下，摸到这种颜色的概率。

沿分支相乘

树状图中一条路径的概率，等于它各条分支上概率的乘积：先红后红是 5/9 × 4/8 = 20/72。这就是乘法公式：P(A 且 B) = P(A) × P(B 已知 A)。红红、红蓝、蓝红、蓝蓝四条路径的概率分别是 20/72、20/72、20/72 和 12/72，合起来是 72/72 = 1，因为总会发生其中一种。

把符合的路径加起来

像“两颗弹珠颜色相同吗？”这样的问题，不止一条路径回答“是”：红红和蓝蓝。把它们的概率相加：20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9。如果大多数路径都符合，减去不符合的路径会更快：至少一颗红色的概率是 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6。应用会为每个问题显示计算过程。

有放回摸球

每次都把弹珠放回去，每次摸球时的花瓶就都一样：这时两颗都是红色的概率是 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30.9%，比 27.8% 略大。两次摸球相互独立。花瓶越大，差别越小：有 10 颗红色和 10 颗蓝色时，两颗都是红色的概率不放回是 9/38 ≈ 23.7%，有放回是 25%。在只有 2 颗红色和 2 颗蓝色的小花瓶里，差别就很大：两颗同色的概率不放回是 1/3，有放回是 1/2。