骰子概率

等可能的六个面

公平的骰子是一个立方体，落在六个面中任何一面的可能性都相同，所以每个面的概率都是 1/6。在标准骰子上，相对两面的点数之和是 7。这并不改变概率，只是让印错的骰子更容易被发现。

数一数有多少种方式

掷两颗骰子时，把结果写成有序对：(1, 1), (1, 2), …, (6, 6)。这 36 种结果都是等可能的。某个点数和的概率，就是得到它的有序对个数除以 36：2 是 1/36，3 是 2/36，一直升到 7 的 6/36，再降回 12 的 1/36。三颗骰子有 6³ = 216 种结果，10 和 11 各有 27 种方式。

吉罗拉莫·卡尔达诺在 16 世纪就是这样计数的。后来，伽利略向意大利赌徒解释了为什么掷三颗骰子时 10 比 9 出现得更多，尽管两者都能用六种方式写成三个点数之和：10 有 27 种有序结果，而 9 只有 25 种。

预期与观测

掷 N 次后，某个结果的预期次数等于 N 乘以它的概率。两颗骰子掷 1,000 次后，7 预计出现 1,000 × 6/36 ≈ 167 次，2 约 28 次。观测到的次数会散布在这些数字周围。对于概率为 p、预期次数为 E = Np 的结果，典型的波动是 √(E(1 − p))，所以 167 ± 12 和 28 ± 5 都是很平常的结果。在应用中，虚线框是预期次数，实心柱子是观测次数。

大数定律与钟形曲线

掷得越多，每个结果所占的比例就越接近它的概率：这就是大数定律。绝对偏差会变大，但增长得比掷骰次数慢，所以按百分比看，柱子与虚线框越来越吻合。再加骰子，点数和的分布就变成钟形曲线。用五颗骰子时，26 种可能的点数和已经紧贴正态曲线：这正是中心极限定理在起作用。

检验骰子：卡方检验

卡尔·皮尔逊在 1900 年提出的卡方检验，衡量观测次数 O 与预期次数 E 相差多远：

χ² = Σ (O − E)² / E

对于公平的骰子，这个和近似服从卡方分布，其自由度比柱子的个数少一：一颗骰子是 5，两颗骰子的点数和是 10。p 值是在骰子公平的情况下，得到至少这么大的 χ² 的概率。p 大说明次数相符；p 低于 0.05 是一个警示，不过用公平骰子做二十轮，也会有一轮落到这里。这个检验要求预期次数不能太小，所以应用会等到掷了足够多次才给出结果。

在 PictorX 里探索

打开“掷骰子”，一颗骰子已经在滚动了，每秒 100 次，最多 1,000 次。你可以选择最多五颗骰子、掷骰次数和速度。“次数”显示计数，“百分比”显示占比，方便比较长短不同的几轮试验。灌铅骰子掷出六点的次数是其他每个面的两倍：看它的柱子冲出虚线框，卡方检验把它揪出来。慢动作让每一次投掷都翻滚着落下；点击骰子或按 Enter 键，就能亲手掷一次。保存图表的 PNG，或者与高尔顿板对比：那里许多微小的随机步骤加起来同样形成钟形曲线。