Lancio dei dadi
Lancia un dado una volta e può uscire qualsiasi numero da 1 a 6. Lancialo mille volte e appare uno schema: ogni faccia esce circa 1/6 delle volte. Con due dadi le somme non sono affatto equiprobabili: il 7 esce sei volte più spesso del 2 o del 12. Lancia i dadi e guarda le barre crescere verso le frequenze attese. Premi Lancia per tirare i dadi ancora e ancora, e guarda le barre crescere. I contorni tratteggiati mostrano quante volte dovrebbe uscire ogni faccia o somma. Con due dadi, 7 è la somma più frequente: sei dei 36 modi in cui i dadi possono cadere danno 7. Fai clic sui dadi per lanciarli una volta.
Come funziona
- Scegli uno, due o tre dadi e premi Lancia. I dadi rotolano e la barra di ogni risultato cresce.
- Confronta ogni barra con il suo contorno tratteggiato: il numero di lanci atteso con dadi equi.
- Prova un dado truccato, cinque dadi per una curva a campana o 10.000 lanci, e leggi il test del chi quadrato.
Un dado: un grafico piatto
Un dado equo ha sei facce e ognuna esce con probabilità 1/6. Dopo 60 lanci ti aspetti ogni faccia 10 volte, ma raramente vedrai esattamente 10: conteggi di 6 o 14 sono del tutto normali. Dopo 1.000 lanci ogni faccia è attesa circa 167 volte, e in proporzione le barre sembrano molto più piatte. Le differenze crescono in termini assoluti ma si riducono come quota dei lanci: è la legge dei grandi numeri.
Due dadi: perché vince il 7
Due dadi possono cadere in 6 × 6 = 36 modi equiprobabili. Solo uno dà 2 (1 + 1) e uno dà 12 (6 + 6), ma sei danno 7: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 e 6 + 1. Quindi il 7 ha probabilità 6/36 = 1/6 e il 2 solo 1/36. Le frazioni sotto le barre contano questi modi, e il grafico diventa un triangolo.
Tre o più dadi: la curva a campana
Con tre dadi ci sono 216 modi di cadere, e le somme 10 e 11 sono le più probabili, con 27 modi ciascuna. Aggiungi altri dadi e il grafico diventa una curva a campana: il teorema del limite centrale dice che la somma di molti numeri casuali indipendenti ha una distribuzione approssimativamente normale.
Il dado è equo? Il test del chi quadrato
Quanto possono allontanarsi le barre dai contorni prima che i dadi diventino sospetti? Il test del chi quadrato somma (osservato − atteso)² / atteso su tutte le barre. Se i dadi sono equi, un valore grande almeno quanto quello misurato si verifica con probabilità p. Un p sotto 0,05 è un campanello d’allarme. Scegli il dado truccato, il cui sei esce il doppio di ogni altra faccia, e dopo qualche centinaio di lanci il test lo smaschera.
Domande frequenti
Qual è la somma più frequente con due dadi?
7. Sei dei 36 modi equiprobabili di cadere danno 7, quindi la sua probabilità è 1/6. Le somme 2 e 12 si possono ottenere ciascuna in un solo modo: 1/36.
Se lancio un dado 600 volte, ogni numero uscirà 100 volte?
In media sì, ma raramente esattamente. Uno scarto di circa 9 in più o in meno rispetto a 100 è normale. La quota di ogni faccia si avvicina a 1/6 man mano che lanci.
Perché il grafico con molti dadi ha la forma di una campana?
Per il teorema del limite centrale: la somma di molti numeri casuali indipendenti è vicina a una distribuzione normale. Le somme centrali si possono ottenere in molti più modi di quelle estreme.
Come faccio a capire se un dado è truccato?
Lancialo molte volte e confronta i conteggi con 1/6 ciascuno. Il test del chi quadrato nell’app trasforma le differenze in un valore p; un valore p sotto 0,05 dopo molti lanci significa che è improbabile che il dado sia equo.
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