Wahrscheinlichkeit beim Würfeln

Gleich wahrscheinliche Seiten

Ein fairer Würfel landet mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder seiner sechs Seiten, also hat jede Seite die Wahrscheinlichkeit 1/6. Auf einem Standardwürfel ergeben gegenüberliegende Seiten zusammen 7. Das ändert nichts an den Chancen; es macht nur einen falsch bedruckten Würfel leichter erkennbar.

Die Möglichkeiten zählen

Schreiben Sie bei zwei Würfeln die Ergebnisse als geordnete Paare: (1, 1), (1, 2), …, (6, 6). Alle 36 sind gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit einer Summe ist die Zahl der Paare, die sie ergeben, geteilt durch 36: 1/36 für 2, 2/36 für 3, bis 6/36 für 7 und wieder hinab bis 1/36 für 12. Drei Würfel haben 6³ = 216 Ergebnisse, und 10 und 11 lassen sich auf je 27 Arten erreichen.

Gerolamo Cardano zählte schon im 16. Jahrhundert auf diese Weise. Später erklärte Galileo italienischen Spielern, warum mit drei Würfeln 10 öfter kommt als 9, obwohl sich beide auf sechs Arten als Summe dreier Augenzahlen schreiben lassen: 10 hat 27 geordnete Ergebnisse, 9 nur 25.

Erwartet und beobachtet

Die erwartete Häufigkeit eines Ergebnisses nach N Würfen ist N mal seine Wahrscheinlichkeit. Nach 1.000 Würfen mit zwei Würfeln wird die 7 1.000 × 6/36 ≈ 167-mal erwartet und die 2 etwa 28-mal. Die beobachteten Häufigkeiten streuen um diese Werte. Für ein Ergebnis mit Wahrscheinlichkeit p und erwarteter Häufigkeit E = Np ist die typische Streuung √(E(1 − p)), also sind 167 ± 12 und 28 ± 5 ganz gewöhnliche Ergebnisse. In der App sind die gestrichelten Umrisse die erwarteten Häufigkeiten und die gefüllten Balken die beobachteten.

Das Gesetz der großen Zahlen und die Glockenkurve

Je öfter Sie würfeln, desto näher kommt jeder Anteil seiner Wahrscheinlichkeit: das Gesetz der großen Zahlen. Die absoluten Abweichungen wachsen, aber langsamer als die Zahl der Würfe, daher passen die Balken in Prozent immer besser zu den Umrissen. Nehmen Sie mehr Würfel, und die Verteilung der Summe wird zur Glockenkurve. Mit fünf Würfeln folgen die 26 möglichen Summen schon eng einer Normalverteilungskurve: Hier wirkt der zentrale Grenzwertsatz.

Einen Würfel prüfen: der Chi-Quadrat-Test

Der Chi-Quadrat-Test von Karl Pearson aus dem Jahr 1900 misst, wie weit die beobachteten Häufigkeiten O von den erwarteten Häufigkeiten E entfernt sind:

χ² = Σ (O − E)² / E

Bei fairen Würfeln folgt diese Summe annähernd einer Chi-Quadrat-Verteilung, deren Zahl der Freiheitsgrade um eins kleiner ist als die Zahl der Balken: 5 bei einem Würfel, 10 bei den Augensummen zweier Würfel. Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit für ein mindestens so großes χ², wenn die Würfel fair sind. Ein großes p heißt, dass die Häufigkeiten passen; ein p unter 0,05 ist eine Warnung, obwohl auch einer von zwanzig Durchgängen mit fairen Würfeln dort landet. Der Test braucht erwartete Häufigkeiten, die nicht zu klein sind, deshalb wartet die App auf genügend Würfe.

In PictorX erkunden

Öffnen Sie die App Würfeln, und schon rollt ein Würfel, 100-mal pro Sekunde, bis zu 1.000 Würfe. Wählen Sie bis zu fünf Würfel, die Zahl der Würfe und das Tempo. Anzahl der Würfe zeigt die Häufigkeiten; Prozent der Würfe zeigt die Anteile, sodass sich Durchgänge unterschiedlicher Länge leicht vergleichen lassen. Der gezinkte Würfel zeigt seine Sechs doppelt so oft wie jede andere Augenzahl: Sehen Sie zu, wie ihr Balken aus dem gestrichelten Umriss herauswächst und der Chi-Quadrat-Test den Würfel ertappt. Zeitlupe lässt jeden Wurf rollen; klicken Sie auf die Würfel oder drücken Sie Enter, um selbst einmal zu würfeln. Speichern Sie ein PNG des Diagramms, oder vergleichen Sie mit dem Galtonbrett, wo sich viele kleine Zufallsschritte ebenfalls zu einer Glockenkurve summieren.