Biglie da un vaso
Un vaso contiene 5 biglie rosse e 4 blu, proprio come l’urna degli esercizi di probabilità. Ne estrai due senza guardare, una dopo l’altra, e non rimetti la prima nel vaso. Qual è la probabilità che siano rosse entrambe? La prima è rossa con probabilità 5/9. Poi restano 8 biglie, di cui 4 rosse, quindi la seconda è rossa con probabilità 4/8. In tutto: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, circa il 27,8%. Fai clic sul vaso per estrarre una biglia senza guardare. Senza reimmissione, ogni biglia estratta cambia ciò che resta, quindi cambia anche la probabilità del colore successivo. Il diagramma ad albero mostra tutti i modi in cui possono andare le estrazioni: moltiplica le probabilità lungo un percorso e somma i percorsi che rispondono sì alla domanda. Premi Estrai automaticamente per eseguire 1.000 prove e guarda la percentuale di «sì» assestarsi sulla probabilità calcolata con l’albero.
Come funziona
- Fai clic sul vaso: una biglia esce e finisce nella prima ciotola, e il diagramma ad albero illumina il suo ramo.
- Fai di nuovo clic per la seconda biglia, e leggi quante biglie di ogni colore erano rimaste e qual era allora la probabilità di estrarre una rossa.
- Premi Estrai automaticamente per eseguire 1.000 prove e guarda la percentuale di «sì» assestarsi su 5/18 ≈ 27,8%.
Senza reimmissione
Ogni biglia estratta resta fuori. Il vaso si svuota e la sua composizione cambia, quindi la probabilità della seconda biglia dipende dalla prima. Dopo una rossa, 4 delle 8 biglie rimaste sono rosse: 4/8. Dopo una blu, 5 delle 8 sono rosse: 5/8. Le estrazioni sono dipendenti, e la probabilità su ogni ramo del diagramma ad albero è una probabilità condizionata: la probabilità di quel colore, dati i colori già estratti.
Moltiplica lungo i rami
La probabilità di un percorso nell’albero è il prodotto delle probabilità sui suoi rami: rossa e poi rossa dà 5/9 × 4/8 = 20/72. È la regola del prodotto, o teorema della probabilità composta: P(A e B) = P(A) × P(B dato A). I quattro percorsi rosso-rosso, rosso-blu, blu-rosso e blu-blu hanno probabilità 20/72, 20/72, 20/72 e 12/72, e insieme fanno 72/72 = 1, perché uno di essi si verifica sempre.
Somma i percorsi che contano
A una domanda come «le due biglie sono dello stesso colore?» rispondono più percorsi: rosso-rosso e blu-blu. Le loro probabilità si sommano: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Quando contano quasi tutti i percorsi, si fa prima a sottrarre quelli che non contano: almeno una rossa ha probabilità 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. L’app mostra il calcolo per ogni domanda.
Con reimmissione
Se rimetti ogni biglia nel vaso, il vaso è lo stesso a ogni estrazione: due rosse hanno allora probabilità 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9%, un po’ più del 27,8%. Le estrazioni sono indipendenti. Più grande è il vaso, più piccola è la differenza: con 10 rosse e 10 blu, la probabilità di due rosse è 9/38 ≈ 23,7% senza reimmissione e 25% con reimmissione. In un vaso piccolo con 2 rosse e 2 blu la differenza è grande: la probabilità di due dello stesso colore è 1/3 senza reimmissione e 1/2 con reimmissione.
Domande frequenti
Qual è la probabilità di estrarre due biglie rosse da 5 rosse e 4 blu?
Senza rimettere la prima nel vaso: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, circa il 27,8%. Rimettendola: 5/9 × 5/9 = 25/81, circa il 30,9%.
Che differenza c’è tra estrazione con e senza reimmissione?
Con reimmissione ogni estrazione parte dallo stesso vaso, quindi le estrazioni sono indipendenti e le probabilità restano uguali. Senza reimmissione il vaso cambia dopo ogni estrazione, quindi ogni probabilità dipende da ciò che è stato estratto prima.
Perché in un diagramma ad albero si moltiplicano le probabilità?
Perché la seconda probabilità è una frazione della prima. Di tutte le prove, 5/9 iniziano con una biglia rossa, e di queste 4/8 proseguono con una seconda rossa: la metà di cinque noni è 5/18.
L’ordine delle estrazioni conta?
Non per la probabilità di una combinazione. Rossa poi blu e blu poi rossa hanno entrambe probabilità 20/72 (5/9 × 4/8 e 4/9 × 5/8): gli stessi numeri, moltiplicati in un ordine diverso. Esattamente una rossa è la somma dei due percorsi: 40/72 = 5/9.
Questo carica qualcosa?
No. Tutto viene calcolato e disegnato su una tela nel browser. Salva scarica un PNG. Modifica apre quell’immagine nell’editor di PictorX.
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