Kugler fra en vase

Sådan virker det

Klik på vasen: En kugle kommer op og lander i den første skål, og dens gren lyser op i trædiagrammet.
Klik igen for den anden kugle, og læs, hvor mange af hver farve der var tilbage, og hvad sandsynligheden for rød var på det tidspunkt.
Tryk på Træk automatisk for at trække 1.000 runder, og se andelen af ja falde til ro ved 5/18 ≈ 27,8 %.

Uden tilbagelægning

Hver kugle, du tager op, bliver ude. Vasen bliver mindre, og blandingen ændrer sig, så sandsynligheden for den anden kugle afhænger af den første. Efter en rød er 4 af de 8 tilbageværende kugler røde: 4/8. Efter en blå er 5 af de 8 røde: 5/8. Trækningerne er afhængige, og sandsynligheden på hver gren af trædiagrammet er en betinget sandsynlighed: sandsynligheden for denne farve, givet de farver, der allerede er trukket.

Gang langs grenene

Sandsynligheden for en vej gennem træet er produktet af sandsynlighederne på dens grene: Rød og så rød er 5/9 × 4/8 = 20/72. Det er multiplikationsreglen: P(A og B) = P(A) × P(B givet A). De fire veje rød-rød, rød-blå, blå-rød og blå-blå har sandsynlighederne 20/72, 20/72, 20/72 og 12/72, og tilsammen giver de 72/72 = 1, fordi en af dem altid sker.

Læg de veje sammen, der tæller

Et spørgsmål som »har begge kugler samme farve?« besvares af mere end én vej: rød-rød og blå-blå. Deres sandsynligheder lægges sammen: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. Når de fleste veje tæller, er det hurtigere at trække dem fra, der ikke gør: Mindst én rød er 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. Appen viser udregningen for hvert spørgsmål.

Med tilbagelægning

Læg hver kugle tilbage, så er vasen den samme ved hver trækning: To røde er så 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30,9 %, lidt mere end 27,8 %. Trækningerne er uafhængige. Jo større vasen er, jo mindre er forskellen: Med 10 røde og 10 blå er to røde 9/38 ≈ 23,7 % uden tilbagelægning og 25 % med. I en lille vase med 2 røde og 2 blå er forskellen stor: To af samme farve er 1/3 uden tilbagelægning og 1/2 med.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er sandsynligheden for at trække to røde kugler fra 5 røde og 4 blå?

Uden at lægge den første tilbage: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18, cirka 27,8 %. Med tilbagelægning: 5/9 × 5/9 = 25/81, cirka 30,9 %.

Hvad er forskellen på med og uden tilbagelægning?

Med tilbagelægning starter hver trækning fra den samme vase, så trækningerne er uafhængige, og sandsynlighederne forbliver de samme. Uden tilbagelægning ændrer vasen sig efter hver trækning, så hver sandsynlighed afhænger af, hvad der blev trukket før.

Hvorfor ganger man sandsynlighederne i et trædiagram?

Fordi den anden sandsynlighed er en andel af den første. Af alle runder begynder 5/9 med en rød kugle, og af dem fortsætter 4/8 med endnu en rød: Halvdelen af fem niendedele er 5/18.

Betyder rækkefølgen af trækningerne noget?

Ikke for sandsynligheden for en kombination. Rød og så blå og blå og så rød har begge sandsynligheden 20/72 (5/9 × 4/8 og 4/9 × 5/8): de samme tal, ganget i en anden rækkefølge. Præcis én rød er summen af begge veje: 40/72 = 5/9.

Bliver der uploadet noget?

Nej. Alt beregnes og tegnes på et lærred i din browser. Gem henter et PNG. Rediger åbner billedet i PictorX-editoren.