花瓶からビー玉を取り出す

使い方

花瓶をクリックします。ビー玉が1個出てきて1つ目の皿に落ち、樹形図の対応する枝が光ります。
もう一度クリックして2個目を取り出し、そのとき各色が何個残っていて、赤が出る確率がいくつだったかを読み取りましょう。
「自動で取り出す」を押して1,000回取り出し、「はい」の割合が 5/18 ≈ 27.8% に落ち着いていく様子を見てください。

元に戻さない場合

取り出したビー玉は花瓶に戻しません。花瓶の中のビー玉は減り、色の割合も変わるので、2個目の確率は1個目によって変わります。赤が出たあとは、残り8個のうち4個が赤なので4/8。青が出たあとは、8個のうち5個が赤なので5/8です。取り出しは独立ではなく、樹形図の各枝の確率は条件付き確率、つまり、すでに出た色がわかっているときに、この色が出る確率です。

枝に沿って掛ける

樹形図の1本の道筋の確率は、その道筋の枝の確率の積です。赤のあとに赤なら 5/9 × 4/8 = 20/72 です。これが乗法定理です：P(A かつ B) = P(A) × P(A のもとでの B)。赤赤、赤青、青赤、青青の4本の道筋の確率は20/72、20/72、20/72、12/72で、合わせると 72/72 = 1 になります。どれか1本は必ず起こるからです。

当てはまる道筋を足す

「2個のビー玉は同じ色ですか？」のような問いには、当てはまる道筋が複数あります。赤赤と青青です。その確率を足します：20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9。ほとんどの道筋が当てはまるときは、当てはまらないものを引くほうが早くなります。少なくとも1個が赤になる確率は 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6 です。アプリはどの問いについても計算式を表示します。

元に戻す場合

ビー玉を毎回戻せば、どの回も花瓶の中身は同じです。このとき2個とも赤になる確率は 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30.9% で、27.8%より少し大きくなります。取り出しは独立です。花瓶が大きいほど差は小さくなります。赤10個と青10個なら、2個とも赤になる確率は、戻さない場合 9/38 ≈ 23.7%、戻す場合25%です。赤2個と青2個の小さな花瓶では差が大きく、2個が同じ色になる確率は、戻さない場合1/3、戻す場合1/2です。