كرات من المزهرية
في مزهرية 5 كرات حمراء و4 زرقاء. تسحب منها كرتين دون أن تنظر، واحدة بعد الأخرى، ولا تعيد الأولى. ما احتمال أن تكون الكرتان حمراوين؟ تكون الأولى حمراء باحتمال 5/9. ثم تبقى 8 كرات، منها 4 حمراء، فتكون الثانية حمراء باحتمال 4/8. معًا: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18، أي نحو 27.8%. إنه نموذج الجرة الكلاسيكي، لكن بمزهرية بدلًا من الجرة. انقر على المزهرية لتسحب كرة دون أن تنظر. في السحب دون إرجاع، تغيّر كل كرة تخرجها ما يتبقى، فيتغير معها احتمال لون الكرة التالية أيضًا. يُظهر المخطط الشجري كل الطرق الممكنة للسحب: اضرب الاحتمالات على طول الفرع، واجمع الفروع التي تجيب عن السؤال. اضغط «سحب تلقائي» لسحب 1000 جولة، وشاهد نسبة «نعم» تستقر عند الاحتمال الذي يعطيه المخطط الشجري.
كيف يعمل
- انقر على المزهرية: تخرج كرة وتستقر في الطبق الأول، ويضيء المخطط الشجري فرعها.
- انقر مرة أخرى للكرة الثانية، واقرأ كم بقي من كل لون وما كان احتمال الحمراء عندئذٍ.
- اضغط «سحب تلقائي» لسحب 1000 جولة، وشاهد نسبة «نعم» تستقر عند 5/18 ≈ 27.8%.
دون إرجاع
كل كرة تخرجها تبقى خارج المزهرية. تقل الكرات في المزهرية ويتغير مزيجها، فيتوقف احتمال الكرة الثانية على الأولى. بعد حمراء تكون 4 من الكرات الثماني الباقية حمراء: 4/8. وبعد زرقاء تكون 5 من الثماني حمراء: 5/8. السحبات غير مستقلة، والاحتمال على كل فرع من المخطط الشجري احتمال شرطي: احتمال هذا اللون بشرط الألوان التي سُحبت من قبل.
اضرب على طول الفروع
احتمال مسار واحد عبر الشجرة هو حاصل ضرب الاحتمالات على فروعه: حمراء ثم حمراء احتمالها 5/9 × 4/8 = 20/72. هذه هي قاعدة الضرب: P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A). المسارات الأربعة حمراء-حمراء وحمراء-زرقاء وزرقاء-حمراء وزرقاء-زرقاء احتمالاتها 20/72 و20/72 و20/72 و12/72، ومجموعها 72/72 = 1، لأن أحدها يحدث دائمًا.
اجمع المسارات المطلوبة
سؤال مثل «هل الكرتان من اللون نفسه؟» يجيب عنه أكثر من مسار: حمراء-حمراء وزرقاء-زرقاء. تُجمع احتمالاتها: 20/72 + 12/72 = 32/72 = 4/9. وحين تكون معظم المسارات مطلوبة، يكون طرح غير المطلوبة أسرع: حمراء واحدة على الأقل احتمالها 1 − 12/72 = 60/72 = 5/6. يعرض التطبيق الحساب لكل سؤال.
مع الإرجاع
أعِد كل كرة فتبقى المزهرية كما هي في كل سحبة: احتمال أن تكون الكرتان حمراوين عندئذٍ 5/9 × 5/9 = 25/81 ≈ 30.9%، أي أكثر قليلًا من 27.8%. السحبات مستقلة. وكلما كبرت المزهرية صغر الفرق: مع 10 كرات حمراء و10 زرقاء يكون احتمال كرتين حمراوين 9/38 ≈ 23.7% دون إرجاع و25% مع الإرجاع. وفي مزهرية صغيرة فيها كرتان حمراوان وكرتان زرقاوان يكون الفرق كبيرًا: احتمال كرتين من اللون نفسه 1/3 دون إرجاع و1/2 مع الإرجاع.
الأسئلة المتداولة
ما احتمال سحب كرتين حمراوين من 5 حمراء و4 زرقاء؟
دون إعادة الأولى: 5/9 × 4/8 = 20/72 = 5/18، أي نحو 27.8%. مع إعادتها: 5/9 × 5/9 = 25/81، أي نحو 30.9%.
ما الفرق بين السحب مع الإرجاع والسحب دون إرجاع؟
مع الإرجاع تبدأ كل سحبة من المزهرية نفسها، فتكون السحبات مستقلة وتبقى الاحتمالات كما هي. ودون إرجاع تتغير المزهرية بعد كل سحبة، فيتوقف كل احتمال على ما سُحب قبله.
لماذا نضرب الاحتمالات في المخطط الشجري؟
لأن الاحتمال الثاني حصة من الأول. من بين كل الجولات تبدأ 5/9 بكرة حمراء، ومن هذه تستمر 4/8 بكرة حمراء ثانية: ونصف خمسة أتساع هو 5/18.
هل يهم ترتيب السحبات؟
ليس لاحتمال تركيبة الألوان. حمراء ثم زرقاء، وزرقاء ثم حمراء، لكلٍّ منهما الاحتمال 20/72 (5/9 × 4/8 و4/9 × 5/8): الأعداد نفسها مضروبة بترتيب مختلف. وحمراء واحدة بالضبط هي مجموع المسارين: 40/72 = 5/9.
هل يُرفع شيء؟
لا. كل شيء يُحسب ويُرسم على لوحة رسم في متصفحك. «حفظ» ينزّل ملف PNG. «تحرير» يفتح تلك الصورة في محرر PictorX.
الأدوات ذات الصلة
سحب الكرات من المزهرية
شرح سحب الكرات من المزهرية: السحب دون إرجاع ومع الإرجاع، والمخطط الشجري، وقاعدة الضرب، وجمع المسارات، وقاعدة الحدث المتمم، والعدّ بالتوافيق، وأين يُستخدم نموذج الجرة.
مفارقة عيد الميلاد
في مجموعة من 23 شخصًا يبلغ احتمال أن يشترك اثنان في عيد الميلاد 50.7%، ومع 57 شخصًا يبلغ 99%. شاهد الأزواج الـ253 كلها والتقويم والمنحنى، واختبر آلاف المجموعات العشوائية في متصفحك.
رمي النرد
ارمِ حجر نرد واحدًا أو اثنين أو ثلاثة ألف مرة، وقارن مخطط الأعمدة الذي يبيّن عدد مرات ظهور كل نتيجة بالتكرارات المتوقعة. واكتشف لماذا يكون 7 أكثر المجاميع شيوعًا.
مسألة مونتي هول
جرّب مسألة مونتي هول بنفسك: اختر بابًا من ثلاثة، وشاهد مونتي يفتح بابًا خلفه عنزة، ثم ابقَ أو بدّل. العب بنفسك أو دع الحاسوب يلعب 1000 لعبة، وشاهد التبديل يربح مرتين من كل ثلاث.
لوح غالتون
أسقط كرات عبر صفوف من الأوتاد وشاهد منحنى الجرس يملأ الخانات. غيّر الصفوف والانحياز وعدد الكرات، وقارن المتوسط والتشتت بالنظرية.
مغالطة المقامر
ارمِ عملة عادلة 100 مرة في الثانية وشاهد ما يأتي بعد كل مرة تظهر فيها الصورة 5 أو 8 مرات متتالية. لا يزال الاحتمال 50/50: العملة لا ذاكرة لها.
عدّ الأوراق بنظام Hi-Lo
تعلّم عدّ الأوراق بنظام Hi-Lo على طاولة بلاك جاك في متصفحك: +1 أو 0 أو −1 لكل ورقة، والعدّ الجاري، والعدّ الحقيقي، والرهان. تدرّب على العدّ، أو عُدّ رزمة كاملة، أو العب مليون جولة.
π بطريقة مونت كارلو
ارمِ آلاف السهام العشوائية على مربع بداخله دائرة، وشاهد نسبة ما يسقط في الداخل تتحول إلى π. ابدأ وأوقف وتابع التقدير وهو يتقارب.
هل أنت مستعد لتجربتها؟
افتح PictorX في متصفحك - بدون تثبيت، ولا يلزم وجود بطاقة ائتمان للبدء.
الانتقال إلى المحرر