生日悖论
一个房间里要有多少人，才很可能有两人同一天生日？大多数人猜 180 人左右。答案只有 23 人：这时概率是 50.7%，57 人时已经达到 99%。这感觉不对，因为我们想到的是自己的生日，而这个悖论讲的是房间里的每一对人。 在一个只有 23 人的群体中，其中两人同一天生日的概率是 50.7%。这听起来高得离谱，因为我们想到的是自己的生日：有人和你同一天生日的概率只有 6%。但 23 人可以组成 253 对，每一对都可能同一天生日。点击生成新的一组，看配对越来越多；也可以逐个添加人，或者测试 1,000 组和每种人数，看曲线如何上升。
它是如何运作的
- 点击舞台，生成新的一组 23 人。他们逐个加入，每多一对就出现一条新线。
- 看日历：有两个生日的那一天会亮起来，提示信息会说出相同的生日。
- 按“自动测试”测试 1,000 组，或按“测试每种人数”，看概率从 2 人到 100 人如何上升。
为什么直觉会出错
在一个房间里，我们会不自觉地从自己出发思考：有人和我同一天生日的概率是多少？一年有 365 天，这个概率很小，有另外 22 人时约为 6%。但这个悖论问的是有没有某两个人生日相同：A 和 B、B 和 C、A 和 C，以此类推。23 人可以组成 23 × 22 / 2 = 253 对，每一对都是一次生日相同的机会。配对数随人数的平方增长，所以概率会迅速攀升。
计算
最简单的方法是先算出没有人生日相同的概率，再用 100% 减去它。第一个人可以是任何一天。第二个人生日不同的概率是 364/365，第三个人避开前两人的概率是 363/365，以此类推。对于 23 人：365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49.3%。于是至少有两人同一天生日的概率是 100% − 49.3% = 50.7%。
和你同一天生日
群体中有人和你同一天生日的概率增长得慢得多：1 − (364/365)ⁿ⁻¹，因为所有配对中只有 n − 1 对包括你。23 人时这个概率是 5.9%，要有另外 253 人才会超过 50%。把问题切换到“有人和你生日相同”，比较两条曲线。
密码学中的生日攻击
这个悖论不只是聚会上的小把戏。在计算机安全领域，它是生日攻击的基础：要找到两个哈希值相同的输入，也就是一次碰撞，攻击者需要的尝试次数比你想象的少得多。对于有 N 种可能取值的哈希，大约尝试 √N 次而不是 N 次后，碰撞就很可能出现。正因如此，哈希和数字签名的输出必须足够长，让即使 √N 次尝试也无法做到：对于 128 位的哈希，找到一次碰撞大约需要 2⁶⁴ 次尝试。
常见问题
要有多少人，同一天生日的概率才达到 50%？
23 人。这时概率是 50.7%。30 人时是 70.6%，41 人时是 90.3%，57 人时是 99.0%，70 人时是 99.9%。
为什么叫悖论？
它并不矛盾，只是出人意料：答案违反直觉。大多数人猜需要 365 的一半左右，也就是大约 180 人，因为他们把每个人都拿来和自己比较，而不是让大家互相比较。
2 月 29 日和真实的出生日期呢？
和经典问题一样，这个应用假设 365 天的可能性相等。真实的生日在一年中分布得并不完全均匀，而分布不均匀会让同一天生日的可能性略微增大，而不是减小。
什么时候一定会有人同一天生日？
366 人时：一年只有 365 天，所以根据抽屉原理，366 人中至少有两人同一天生日。早在那之前就几乎可以肯定了：100 人时概率是 99.99997%。
这会上传什么吗？
不会。一切都在你浏览器里的画布上计算和绘制。保存会下载 PNG。编辑会在 PictorX 编辑器中打开那张图。
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